Volumi di solidi di rotazione – casi particolari

rotazione

Abbiamo già visto come si calcola in generale il volume di un solido ottenuto dalla rotazione di una regione di piano intorno ad uno dei due assi cartesiani, considerando anche alcuni casi particolari. Tuttavia è possibile far avvenire la rotazione intorno ad una retta differente dagli assi. Come si fa?
Nella totalità dei casi studiati alle scuole superiori (e quindi possibili oggetto di domande d’esame) la retta è parallela ad uno dei due assi. Questo perché altrimenti si dovrebbe applicare all’intero spazio una rotazione, ma questo argomento non è presente in tutte le programmazioni. Tornando dunque al caso detto, la retta intorno alla quale si effettua la rotazione è del tipo y = k o del tipo x = h. In entrambi i casi il modo più semplice di procedere è quello di operare una traslazione degli assi (in particolar modo, solo di quello parallelo alla retta in questione) e fare in modo che nel nuovo riferimento la retta in questione coincida con l’asse traslato. In pratica… nel primo caso (rotazione intorno alla retta y = k) si opera la seguente traslazione:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c}
X = x \\ Y = y + k
\end{array}
\Longleftrightarrow
\{\begin{array}{c}
x = X \\ y = Y – k
\end{array}
\end{equation}

…mentre nel secondo (rotazione intorno alla retta x = h) si opera come segue:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c}
X = x +h\\ Y = y
\end{array}
\Longleftrightarrow
\{\begin{array}{c}
x = X – h \\ y = Y
\end{array}
\end{equation}

A questo punto bisogna riscrivere la funzione nelle nuove coordinate, ossia sostituire la coordinata che ha subito la traslazione (eventualmente entrambe) ottenendo…
\begin{equation}
y=f(x) \overset{traslazione}{\Longrightarrow} Y = f(X)
\end{equation}
e procedere come i casi già visti in precedenza.

Immagine via physicsforums.com

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