Volume dei solidi di rotazione

Come si calcola il volume dei solidi di rotazione?

Nelle prove di matematica dell’esame di maturità sono molto frequenti le domande sul calcolo di volumi di solidi ottenuti dalla rotazione di una regione di piano intorno ad un asse o ad una retta. Ricordare la formula è semplice; tuttavia se non se ne capisce il senso si rischia di applicarla in maniera meccanica o peggio ancora in maniera errata. Ma partiamo dall’inizio.
Sia data una funzione f(x). Il volume del solido generato dalla rotazione della regione di piano delimitata dalla curva f(x) e dall’asse x tra gli estremi a e b è dato da:
\begin{equation}
V=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx
\end{equation}

Da dove viene questa formula? Ragioniamo un po’. Supponiamo di avere una funzione costante del tipo f(x) = k, ossia una retta parallela all’asse delle x. Se facciamo ruotare la regione di piano compresa tra tale retta, l’asse delle x e altri due limiti verticali quello che viene fuori è semplicemente un cilindro, il cui raggio di base è esattamente uguale a k e la cui altezza è pari alla differenza dei limiti verticali importi, |b – a|. Conoscendo la formula del volume del cilindro si ha semplicemente:
\begin{equation}
V=\pi k^{2} (b-a) \space (dalla\space formula\space V_{cilindro}=\pi r^{2} h)
\end{equation}

Quando la funzione non è costante, per calcolare il volume totale bisogna sommare tutti i volumi dei cilindri infinitesimi di raggio f(x) da “a” a “b”, laddove il volumetto infinitesimo dV si calcola come:
\begin{equation}
dV= \pi [f(x)]^{2} dx
\end{equation}

dove f(x) è il raggio e dx è l’altezza infinitesima (ingrandisci l’immagine in alto).

Vedremo successivamente come si calcola il volume quando la rotazione non è fatta intorno all’asse x o, ad esempio, quando bisogna far ruotare un’area di piano che non termina sull’asse (come ad esempio una regione delimitata da due curve).

Immagine via physicsforums.com