Verifica di limite


limiti

Cos’è la verifica di un limite? E come si fa?

Molte volte, negli esercizi da svolgere (questo succede per lo più nel caso di limiti di variabile reale), si richiede di verificare che il limite assegnato (con tanto di soluzione dunque) sia vero oppure no. Affinché sia verificato il limite è dunque opportuno che soddisfi la definizione. Ma come si fa una verifica? Supponiamo di avere il seguente limite (molto semplice, ma è solo da esempio).

\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow 3}{lim}\space 2x+1=7
\end{array}

Siccome la funzione in questione è continua per x = 3 il limite è banalmente vero. Questo però non funge da verifica. Per verificare la veridicità di quanto affermato bisogna fissare un certo epsilon e trovare in funzione di questo un delta che soddisfi la definizione data; se ciò non accade il limite è sbagliato. Come fare?

\begin{array}{c}
Sia\space \epsilon >0;\\ \vert 2x+1-7\vert <\epsilon \Longrightarrow \vert 2x-6\vert <\epsilon \\ \Longrightarrow -\epsilon<2x-6<\epsilon \\ \Longrightarrow 6 – \epsilon < 2x < 6 + \epsilon \\ \overset{divido\space per\space 2}{\Longrightarrow} 3-\frac{\epsilon}{2} < x \end{array}

Ponendo dunque
\begin{equation}
\delta = \frac{\epsilon}{2}
\end{equation}
troviamo il valore di delta in funzione di epsilon che verifica la definizione di limite.

Verifica di limite riassunto Bignami

Riassumendo… cosa abbiamo fatto? Abbiamo fissato un epsilon positivo, abbiamo svolto la disequazione in valore assoluto e trovato delta; o ancora… abbiamo fissato un intorno di 7 e in funzione di questo abbiamo trovato un intorno di 3 che soddisfa la definizione di limite.

Immagine via freefoto.com (augurandovi di prendere almeno 30 all’esame!)

Continua: Limiti di funzione – limite finito all'infinito





Lascia una risposta