Uno più uno non fa sempre due!

Uno2

Uno più uno fa sempre due?

Tempo fa abbiamo parlato di moduli e relazioni d’equivalenza ed inoltre di classi di equivalenza. Vediamo ora se è possibile fare operazioni tra queste e dare una risposta alla domanda iniziale.

Quando si introduce una operazione tra classi di equivalenza bisogna dimostrare che essa sia compatibile con la relazione d’equivalenza. La compatibilità ci dice che, operando con elementi in relazione, i risultati sono ancora in relazione. Ad esempio, indicando con + la nostra operazione, bisogna avere:

\begin{equation}
a\Re b, c\Re d \Longrightarrow (a+c)\Re (b+d)
\end{equation}

Tornando ai moduli, osserviamo che

\begin{equation}
a\equiv b(m), c\equiv d(m) \Longrightarrow (a+c)\equiv (b+d)(m)
\end{equation}

Infatti
\begin{equation}
a\equiv b(m) \Longrightarrow (a-b)=hm
\end{equation}
\begin{equation}
c\equiv d(m) \Longrightarrow (c-d)=km
\end{equation}
da cui si ha che
\begin{equation}
(a+c-b-d)=a-b+c-d=hm+km=(h+k)m
\end{equation}
\begin{equation}
\Longrightarrow (a+c)\equiv (b+d)(m)
\end{equation}

Quanto visto ci dice anche che l’operazione è ben posta, che vuol dire che al cambiare dei rappresentanti non cambia il risultato, ovvero la classe di equivalenza del risultato. (Quanto detto finora vale anche per la moltiplicazione).

Torniamo dunque alla domanda iniziale e consideriamo l’insieme dei numeri relativi dotato della relazione di equivalenza modulo due con l’operazione di somma… ossia:
\begin{equation}
\mathbb{Z}_{2}(+)
\end{equation}

Osserviamo innanzitutto che la relazione di equivalenza modulo 2 non fa altro che mettere in due classi distinte numeri pari (zero compreso) e dispari, per cui gli unici elementi dell’insieme (quoziente!) saranno la classe di zero e quella di uno, ossia la classe dei numeri pari (coincidente quindi con quella di 2, 4…) e la classe dei numeri dispari (coincidente quindi con quella di 1, 3, …), ossia:
\begin{equation}
\mathbb{Z}_{2}=\{[0]_{2},[1]_{2}\}
\end{equation}

In questo insieme è possibile fare soltanto tre somme:

  1. 0 + 0;
  2. 0 + 1;
  3. 1 + 1;

(infatti, tra numeri relativi, è possibile sommare due numeri pari, un pari ed un dispari, due numeri dispari… e non esistono altre possibilità!). Vediamo i risultati. La somma di due numeri pari dà come risultato un numero pari, quindi
0 + 0 = 0;
la somma di un pari con un dispari dà come risultato un numero dispari, e quindi
0 + 1 = 1
la somma di due numeri dispari dà come risultato un numero pari, da cui consegue che
1 + 1 = 0!!!
Importante: stiamo parlando di classi di equivalenza!!!
Ciò non toglie però che, nell’insieme in cui ci siamo messi ad operare, con l’operazione introdotta, uno più uno sia uguale a zero!

Alla prossima!

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