Ultrametrica e topologia – 2

Proprietà delle ultrametriche.

5. Dischi, sfere e superfici sferiche sono contemporaneamente aperti e chiusi nella topologia indotta da una ultrametrica.
Cominciamo con i dischi. Ogni disco è chiuso nella topologia generata da una metrica, e lo stesso vale dunque nel caso di una ultrametrica. Bisogna dunque dimostrare che ogni disco è aperto. Basta dimostrare che per ogni suo punto, che sia interno o di bordo (cioè appartenente alla superficie), esiste una sfera (aperta!) che lo contiene e che sia a sua volta contenuta nel disco di partenza. Siano dunque:
\begin{array}{c}
1.\space y\in D(a,r),\space d(a,y) \leq r \\
\epsilon > 0 : 0
\end{array}
Banalmente…
\begin{array}{c}
y \in B(y,\epsilon) \cap B(a,r) \\
\Longrightarrow \forall x \in B(y, \epsilon),\space d(x,a) \leq \max \{d(a,y),d(x,y) \} \leq r \\
\Longrightarrow x\in B(a,r) \Longrightarrow \subseteq D(a,r)
\end{array}
Siccome le sfere sono aperte per come definite, da quanto dimostrato si evince che il disco è contemporaneamente aperto e chiuso.

Ogni sfera è aperta e chiusa. Per dimostrare che una sfera è chiusa (sappiamo già da come definita che è aperta) si può dimostrare equivalentemente che il suo complementare è un aperto. Sia…
\begin{array}{c}
B^{c} = \{x\in X : d(a,x) \geq r \} \\
y \in B^{c} \space (\Longleftrightarrow d(a,y) = s \geq r) \\
\epsilon > 0 : 0
\end{array}

È facile trovare che…
\begin{equation}
\forall x \in B(y,\epsilon), \space d(a,x) \leq \max \{ d(a,y),d(x,y) \} = \max \{s,\epsilon \} = s
\end{equation}
Per assurdo…
\begin{array}{c}
\exists x \in B(a,r) \cap B(y,\epsilon), \space d(a,x) = t
\Longrightarrow d(a,y) \leq \max \{ d(a,x),d(x,y) \}
\end{array}

che è assurdo poiché, per ipotesi, la distanza tra a ed y è maggiore o uguale ad r per come posto y nella 1.. L’assurdo ci assicura che la sfera di centro y e raggio epsilon è tutta contenuta nel complemento della sfera di partenza B(a,r), per cui B(a,r) risulta chiusa.

6. Ogni triangolo è isoscele e la sua base è minore o al più uguale agli altri due lati.
Questa è un’altra cosa assolutamente falsa in una metrica standard… come quella euclidea. Vediamo comunque che nel caso di una ultrametrica l’affermazione di cui sopra è vera. Siano…
\begin{array}{c}
a,b,c \in X \\
d(a,b) = r \\
d(b,c) = s \\
d(a,c) = t
\end{array}
Senza ledere la generalità supponiamo che
\begin{array}{c}
r \leq s \leq t \\
Pertanto…\\
r = d(a,b) \leq \max \{ d(a,c),d(b,c) \} = t \\
s = d(b,c) \leq \max \{ d(a,c),d(a,b) \} = t \\
t = d(a,c) \leq \max \{ d(a,b),d(b,c) \} = s (\leq t) \\
\end{array}
Da quanto visto s = t mentre i punti a e b costituiscono la base del triangolo. Se r = s (= t) la base è di lunghezza pari agli altri due lati per cui il triangolo è equilatero; se invece si suppone che la base abbia lunghezza maggiore degli altri due si trova (dalle disequazioni imposte dalla ultrametrica) che la base del triangolo cambia in maniera tale da essere sempre il lato più piccolo del triangolo, che resta pur sempre isoscele al più equilatero.

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