Ultrametrica e topologia – 1


metrica

Com’è fatta la topologia generata da una ultrametrica?
In uno spazio ultrametrico è piuttosto improprio parlare di aperti e chiusi riferendosi alla topologia generata dalla ultrametrica in questione, e questo sarà chiaro a breve. Cominciamo con il definire invece le sfere (in generale), i dischi e le superfici sferiche.

Sia dunque (X,d) uno spazio ultrametrico, a un elemento di X ed r un numero reale positivo non nullo; definiamo:
\begin{array}{c}
B(a,r) = \{x\in X : d(a,x)
D(a,r)= \{x\in X : d(a,x) \leq r\} = disco\space di\space centro\space a\space e\space raggio\space r \\
S(a,r)= \{x\in X : d(a,x) =r\} = superficie\space sferica \\
di\space centro\space a\space e\space raggio\space r
\end{array}

Chiaramente…
\begin{equation}
D(a,r) = B(a,r) \cup S(a,r)
\end{equation}

Dimostriamo alcune proprietà all’apparenza bizzarre della topologia generata da una ultrametrica.
1. Ogni punto in una sfera è centro della sfera. (ricordiamo che in una geometria standard una sfera ha un unico centro)
Preso un qualsiasi elemento y in B(a,r) si ha:
\begin{equation}
d(x,y) \leq \max \{ d(a,x),d(a,y) \}
\end{equation}

pertanto ogni punto y verifica la definizione di centro.

2. Se due sfere si intersecano, allora una delle due è inclusa nell’altra.
Siano:
\begin{array}{c}
B(a,r) = \{x\in X : d(a,x)
B(b,s) = \{x\in X : d(b,x)
y \in B(a,r) \cap B(b,s)
\end{array}
Per la proprietà 1. y è centro di entrambe, per cui è banale che quella con raggio più piccolo è inclusa nell’altra; se i due raggi sono uguali le due sfere coincidono.

3. Ogni punto in un disco è centro del disco
Basta dimostrare che ogni punto di un disco si trova a distanza minore o uguale del raggio rispetto a qualsiasi altro punto, sia che quest’ultimo si trovi all’interno del disco, sia che si trovi sulla superficie. Infatti…
\begin{array}{c}
\forall y \in D(a,r), \space d(y,x) \leq \max \{d(a,y), d(a,x) \} \leq r \\
per\space cui…\\
x \in D(y,r)
\end{array}

4. Se due dischi si intersecano, uno dei due è incluso nell’altro.
Ricordando che ogni punto è centro del disco in cui si trova, se due dischi si intersecano allora qualsiasi punto dell’intersezione è centro di entrambi per cui i due dischi sono concentrici. Ovviamente quello di raggio più piccolo è contenuto nell’altro; se poi i raggio sono uguali i due dischi coincidono.

Continua…

Immagine via commons.wikimedia.org

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