Triangoli rettangoli: geometria piana

Lo studio dei triangoli rettangoli è fattibile da diversi punti di vista: innanzitutto da quello della geometria piana, in secondo luogo da quello della trigonometria. Cominciamo dal primo caso.
Escludendo la trigonometria da tale discorso sono tre i teoremi più importanti che riguardano un triangolo rettangolo: il teorema di Pitagora ed i due teoremi di Euclide. Partiamo dal primo. Siano:
begin{array}{c}
i space =space ipotenusa
a, space b space = space cateti
Teorema space di space Pitagora: space a^{2} + b^{2} = i^{2}
end{array}
La formulazione del teorema dice che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa; insomma, le due aree sono uguali. Pertanto si ha una formula immediata per calcolare l’ipotenusa o uno dei due cateti, in quanto…
begin{array}{c}
i = sqrt{a^{2} + b^{2}}
a = sqrt{i^{2} – b^{2}}

b = sqrt{i^{2} – a^{2}}
end{array}

Primo teorema di Euclide

Passiamo al Primo teorema di Euclide. Siano a’ e b’ le proiezioni dei cateti a e b sull’ipotenusa; allora:
begin{equation}
i : a = a : a’ Longleftrightarrow a^{2} = icdot a’
end{equation}
Il teorema dice che il quadrato costruito su di un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Detto in altri termini, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Passiamo ora al secondo teorema di Euclide. Detta h l’altezza relativa all’ipotenusa, si ha:
begin{equation}
a’ : h = h : b’ Longleftrightarrow h^{2} = a’ cdot b’
end{equation}
Il teorema afferma quindi che il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Detto in altri termini, l’altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.