Triangoli e trigonometria

Risolvere problemi relativi a triangoli di qualsivoglia genere è molto più facile se si fa uso della trigonometria. Ci sono infatti alcuni teoremi che si aggiungono a quelli più comuni (come Euclide e Pitagora) che semplificano notevolmente il compito talvolta impossibile di risolvere un problema con i soli metodi standard. Vediamo quali sono questi teoremi.
Teorema di Carnot (o del coseno o di Pitagora generalizzato). In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del doppio prodotto dei due lati moltiplicato per il coseno dell’angolo tra essi compreso. Molto più semplicemente in formule, detti a, b, c i lati di un triangolo qualsiasi, si ha:
\begin{equation}
a^{2} = b^{2}+c^{2} – 2bc\cdot \cos\widehat{bc}
\end{equation}

Ovviamente il teorema vale per qualunque dei tre lati, ricordando che l’argomento del coseno è l’angolo compreso tra i restanti due lati.

Teorema dei seni (o di Eulero). In un triangolo il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante. Detti a, b, c i lati di un triangolo qualsiasi, e chiamati con le equivalenti lettere greche gli angoli opposti (vedi figura in alto), si ha:
\begin{equation}
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
\end{equation}

Teorema della corda. In un triangolo il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al doppio del raggio della circonferenza ad esso circoscritta. In formule:
\begin{equation}
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r
\end{equation}

Teorema delle proiezioni. In un triangolo la misura di un lato è uguale alla somma delle misure delle proiezioni degli altri due lati parallelamente ad esso. La proiezione di un lato lungo un altro si calcola considerando il prodotto della misura del lato stesso per il coseno dell’angolo compreso tra esso ed il lato lungo cui si vuole calcolare la proiezione. In formule:
\begin{array}{c}
a=b\cos \gamma + c \cos \beta \\
b=a\cos \gamma + c \cos \alpha \\
c=a \cos \beta + b \cos \alpha
\end{array}

Notiamo che, da semplici considerazioni, è facile trovare le seguenti formule per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi:
\begin{equation}
A=\frac{ab\sin \gamma}{2}=\frac{ac\sin \beta}{2}=\frac{bc\sin \alpha}{2}
\end{equation}