Traslazione degli assi

In geometria si definisce traslazione individuata dal segmento orientato OA la corrispondenza biunivoca tra i punti (del piano) che ad ogni punto P associa il punto P’ tale che il segmento orientato PP’ sia equipollente ad OA.
Ricordiamo che per segmenti equipollenti si intendono segmenti che hanno uguali modulo (cioè la lunghezza), direzione (le rette su cui giacciono devono essere parallele) e verso (cioè l’orientamento).

Determiniamo a questo punto le equazioni della traslazione individuata dal segmento OA. Fissato quindi un riferimento cartesiano Oxy, dove O è l’origine del riferimento, siano, come da figura:
\begin{array}{c}
A(a,b) \space P(x,y) \space P'(x’, y’)\\
A_{1}(a,0) \space P_{1}(x,0) \space P’_{1}(x’,0) \space (proiezioni\space dei\space punti\space sull’asse\space x) \\
Q(x’,y)
\end{array}

Data l’equipollenza dei segmenti OA e PP’ è facile vedere che i triangoli che si generano dalla traslazione sono uguali. Pertanto:
\begin{array}{c}
\overline{OA_{1}}=\overline{PQ}=\overline{P_{1}P’_{1}}=a \\
\overline{AA_{1}}=\overline{QP’}=b
\end{array}
da cui si ottengono facilmente le seguenti uguaglianze:
\begin{array}{c}
x’=\overline{OP_{2}}=\overline{OP_{1}}+\overline{P_{1}P_{2}}=x+a \\
y’=\overline{P_{2}P’}=\overline{P_{2}Q}+\overline{QP’}=y+b
\end{array}

Concludendo, le equazioni della traslazione individuata dal segmento OA sono:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c}
x’ = x+a \\ y’ = y+b
\end{array}
\overset{oppure}{\Longleftrightarrow}
\{\begin{array}{c} x = x’-a \\ y = y’-b
\end{array}
\end{equation}

Lo stesso discorso vale se, invece di avere un segmento per la traslazione, si ha un nuovo punto in cui spostare l’origine degli assi. Quindi, nel caso in cui si ha la necessità di spostare l’origine degli assi dal punto O(0,0) al punto A(a,b) si procede come appena visto; dopo la traslazione è chiaro che ad ogni occorrenza della variabile x va sostituita l’espressione in cui compare la variabile x’ (cioè, al posto di x bisogna mettere x’ – a)… e ad ogni occorrenza della variabile y va sostituita l’espressione y’ – b.

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