Traccia esame di maturità 2010 matematica – svolgimento

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Nei giorni prima dell’esame di maturità vediamo come risolvere alcune prove degli esami passati.
Nel compito di matematica dell’anno 2010 si richiedeva quanto segue:

Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza lambda passante per C e tangente esternamente a gamma

Punto 1. Se AP = x, si provi che il raggio di lambda in funzione di x è dato da:

\begin{equation}
f(x) = \frac{1-x}{1+x}
\end{equation}

Detto T il punto di contatto tra le due circonferenze, si ha AP = PT = x (AP e PT sono entrambi raggi della circonferenza gamma; inoltre il vincolo di appartenenza al quadrato impone 0 ) e QC = QT = y (= f(x)). È chiaro che PT + QC = x + y, per cui:
\begin{array}{c}
\overline{PB}^{2} + \overline{BQ}^{2} = \overline{PQ}^{2} \Longrightarrow (1-x)^{2} + (1-y)^{2} = (x+y)^{2} \\
\Longrightarrow 1 – 2x + x^{2} + 1 – 2y + y^{2} = x^{2} +2xy + y^{2} \\
\Longrightarrow 2 – 2x – 2y – 2xy = 0 \Longrightarrow -y(1+x) = x-1 \\
\Longrightarrow y = \frac{1-x}{1+x}
\end{array}

Punto 2. Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di f(x). La funzione f(x) è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?

La prima parte è molto semplice: f(x) è una funzione omografica (ossia un’iperbole), quindi facilmente disegnabile senza bisogno di calcolare limiti, derivate e simili.
Per la seconda parte, basta ricordare che una funzione è invertibile se e soltanto se è biettiva; inoltre questo si può semplificare dicendo che una funzione è invertibile in un dato intervallo [a,b] se e soltanto se la sua derivata è sempre strettamente positiva o negativa (mai nulla!), che è quello che accade per la funzione f(x) poiché
\begin{equation}
f'(x) = \frac{-(1+x) – (1-x)}{(1+x)^{2}}= -\frac{2}{(1+x)^{2}}
\end{equation}
che è sempre negativa, fatta eccezione per x = -1 dove non è derivabile (né tanto meno continua!). Pertanto, ricavando la x in funzione di y si ha:
\begin{array}{c}
y=\frac{1-x}{1+x} \Longrightarrow y(1+x) – (1-x) = 0 \Longrightarrow x(y+1) + y-1 = 0 \\
\Longrightarrow f^{-1}(y) = \frac{1-y}{1+y}
\end{array}
che coincide con la funzione di partenza, per cui le due hanno lo stesso grafico.

Continua a seguirci per gli altri punti del problema!

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