Traccia esame di maturità 2010 matematica – soluzione

Nel post precedente avevamo cominciato lo studio di una prova d’esame, rimandando poi il finale ad un post successivo… questo! Vediamo un po’ come concludere lo studio.

Punto 3. Sia g(x) = |f(x)|. Qual è l’equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto R(0, 1)? E nel punto S(1, 0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S?

Il grafico di g(x) si ottiene facilmente ribaltando la parte negativa di f(x) rispetto all’asse x. Si può in alternativa vedere che la funzione g(x) può essere scritta nel seguente modo:
\begin{equation}
g(x) = \{ \begin{array}{c} \frac{1-x}{1+x}, \space per\space -1
– \frac{1-x}{1+x}, \space per\space x 1
\end{array}
\end{equation}
Per quanto riguarda le due tangenti, basta ricordare che:
\begin{equation}
t: y-y_{0} = f'(x_{0})(x-x_{0})
\end{equation}
Per il punto R (0, 1) basta applicare la formula per trovare r: y = -2x +1; per quanto riguarda il punto S (1, 0), bisogna osservare che in esso la funzione g non è derivabile, poiché:
\begin{equation}
g'(x) = \{ \begin{array}{c}
-\frac{2}{(1+x)^{2}},\space per\space -1
\frac{2}{(1+x)^{2}},\space per\space x 1
\end{array}
\end{equation}
Facendo i limiti da destra e da sinistra si vede facilmente che il punto 1 rappresenta un punto angoloso (i limiti sono entrambi finiti ma diversi!); pertanto è possibile calcolare soltanto la tangente sinistra e la tangente destra, ossia (rispettivamente)
\begin{array}{c}
t_{s}: y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \\
t_{d}: y = \frac{x}{2} – \frac{1}{2}
\end{array}

Punto 4. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ROS, ove l’arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

Per calcolare l’area di cui sopra basta svolgere il seguente integrale:
\begin{equation}
\int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x}dx
\end{equation}
che si risolve facilmente aggiungendo e sottraendo al numeratore il valore -2.