Toro – matematica

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Il toro è una superficie geometrica avente la forma di una ciambella. Il toro si può anche visualizzare in maniera molto semplice come una superficie di rotazione, facendo cioè ruotare una circonferenza intorno ad un asse (cioè ad una retta) ad esso esterno ma giacente sul suo stesso piano.
Per calcolare l’equazione del toro è molto semplice procedere considerando il punto P che ruota sulla circonferenza di raggio r, mentre R ( > r) è la distanza tra l’origine ed il centro della circonferenza. Supponiamo dunque di considerare un angolo theta come variabile per la circonferenza, quindi un angolo t che indica la rotazione della circonferenza intorno all’asse z. Si ha dunque…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
x = (R + r\cos \theta) \cos t \\
y = (R + r \cos \theta) \sin t \\
z = r \sin \theta
\end{array}
\end{equation}

Le formule si spiegano in maniera molto semplice. Osserviamo innanzitutto che nell’immagine l’asse verticale è quello delle z mentre la retta orizzontale è semplicemente una retta che congiunge l’origine degli assi con il centro della circonferenza. Per trovare la coordinata x del punto P bisogna innanzitutto calcolare la sua posizione sulla circonferenza (ossia la parte tra parentesi), quindi proiettare quanto ottenuto sull’asse x, cioè moltiplicare per il coseno dell’angolo t. Idem per l’asse y, sostituendo il seno al coseno. Molto più semplicemente, la coordinata z è data dall’altezza che il punto occupa sulla circonferenza.

Per ottenere l’equazione cartesiana del toro bisogna quadrare e sommare…
\begin{array}{c}
(1) \space x^{2} + y^{2} = (R + r\cos \theta)^{2} = R^{2} + 2Rr\cos\theta +r^{2} \cos^{2} \theta \\
(2) \space x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}+ 2Rr\cos \theta + r^{2} \\
\end{array}
Siccome…
\begin{equation}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}= R + r\cos \theta \Longleftrightarrow r\cos\theta = \sqrt{x^{2}+y^{2}} -R
\end{equation}
…si ha, sostituendo nella (2):
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-2R(\sqrt{x^{2}+y^{2}} -R) = r^{2} \\
\Longrightarrow x^{2}+y^{2} -2R\sqrt{x^{2}+y^{2}} +2R^{2} + z^{2}=r^{2} \\
\Longrightarrow [(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} +R^{2} -2R\sqrt{x^{2}+y^{2}}] +z^{2} = r^{2} \\
\Longrightarrow (R-\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} + z^{2} = r^{2}
\end{array}