Topologia e basi


Möbius

Cos’è la base di una topologia?

Abbiamo visto già cos’è una topologia dandone la definizione più generale possibile. Tuttavia è possibile definire una topologia su uno spazio non vuoto in maniera più semplice, ovvero attraverso quelle che vengono definite basi. Questa definizione semplifica di molto le operazioni, quando si tratta con la continuità o la convergenza ad esempio, ma offre anche un migliore punto di vista, come nel caso della topologia naturale sull’insieme dei numeri reali. Vediamo dunque cos’è una base.
\begin{array}{c}
S \ne \emptyset,\space B\subseteq \pi (S) \space base \\\overset{def}{\Longleftrightarrow}\\ 1.\space \underset{A \in B}{\cup}A=S \\ 2. \forall A_{1},A_{2}\in B,\space \forall x\in A_{1}\cap A_{2},\space \exists A_{x} \in B : x\in A_{x}\subseteq A_{1}\cap A_{2}
\end{array}

Qual è il significato di quanto scritto? La proprietà 1 dice che la base B deve essere un ricoprimento di tutto lo spazio S, cioè l’unione dei suoi elementi deve coincidere con tutto lo spazio (questo perché lo spazio S è un’aperto della topologia); la proprietà 2 dice invece che, presi comunque due elementi della base ed un punto appartenente alla loro intersezione, deve esistere almeno un elemento della base che contiene il punto ed è contenuto nell’intersezione sopra detta. Insomma, non viene richiesto che l’intersezione di due elementi della base sia ancora un elemento della base (come accade per la topologia), ma deve accadere semplicemente che l’intersezione di due elementi della base possa essere ricoperta da elementi della base! Importante: una base non è, in genere, una topologia!

Vedremo successivamente esempi di topologie e di basi!

Immagine via commons.wikimedia.org

Continua: Spazi topologici





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