Topologia – Assiomi di separazione 2


separazione

Gli assiomi di separazione descritti fino ad ora (vedi post correlato) riguardavano solo ed esclusivamente la possibilità di separare coppie di punti. Qui di seguito verranno descritte le ulteriori proprietà per separare punti e chiusi (che non si appartengono) e chiusi ad intersezione vuota.

Cominciamo col dire che uno spazio topologico si dice regolare se e soltanto se è possibile separare un punto ed un chiuso che non si appartengono con due aperti disgiunti. In formule:

\begin{array}{c}
(X, \tau) \space regolare \\
\Longleftrightarrow \\
\forall c \in X, \forall C \space chiuso \space t.c. \space x\notin C \space \exists U,V \in \tau \\ t.c. \\
x\in U,\space C\in V, U \cap V =\emptyset
\end{array}

Uno spazio in cui sono verificate, contemporaneamente, la proprietà T_{0} e la proprietà di regolarità viene definito spazio T_{3}. Dunque:
\begin{equation}
(X, \tau) \space T_{3} \Longleftrightarrow \space X \space è \space T_{0} + R
\end{equation}
dove R sta per regolare

Una proprietà più forte della regolarità è la completa regolarità. Uno spazio è completamente regolare se e solo se…
\begin{array}{c}
\forall x\in X, \space \forall C\space chiuso \space in\space X \space t.c.\space x\notin C, \exists f:X \rightarrow \mathbb{R} \space continua \space \\
t.c. \\
f(C)=0, \space f(x)=1
\end{array}

A questo punto uno spazio topologico si definisce T tre e mezzo
\begin{equation}
(X,\tau) \space T_{3 \frac{1}{2}} \Longleftrightarrow X \space è \space T_{0} + CR
\end{equation}
laddove CR sta per completamente regolare.

Un’altra proprietà di separazione è la normalità. Uno spazio topologico si definisce normale se e solo se in esso è possibile separare chiusi disgiunti con aperti disgiunti. In formule:
\begin{array}{c}
(X,\tau) \space normale \Longleftrightarrow \forall C_{1}, C_{2} \space chiusi, \space \exists U_{1},\space U_{2} \in \tau \space t.c.\\ C_{1} \subseteq U_{1}, \space C_{2} \subseteq U_{2}, \space U_{1} \cap U_{2} = \emptyset
\end{array}

Uno spazio topologico si definisce T_{4}
\begin{equation}
(X, \tau) \space T_{4} \Longleftrightarrow X \space è \space T_{1} + N
\end{equation}
laddove N sta per normale.

È importante osservare che le sole proprietà di regolarità e completa regolarità non assicurano ad uno spazio topologico le proprietà T_{3} e T tre e mezzo, così come la sola normalità non assicura che uno spazio sia T_{4}

Continua: Topologia – Assiomi di separazione





Lascia una risposta