Teorema ponte e limiti di funzioni reali

ponte

Cos’è il teorema ponte?

Il teorema ponte è un importantissimo teorema di Analisi matematica, anche se spesso trascurato, che ci permette di passare dal limite per successioni al limite per funzioni. Esso è valido in quanto ogni numero reale è approssimabile con una successione; inoltre, in esso si evince che, trattando con funzioni, è possibile calcolare un limite solo in punti di accumulazione del dominio della funzione stessa (per le successioni la cosa è meno evidente, ma in effetti l’infinito è l’unico punto di accumulazione per l’insieme dei numeri naturali). Possiamo vedere un punto di accumulazione come un punto (eventualmente non appartenente al dominio) ma a cui converge una successione di elementi del dominio che stiamo considerando (si pensi, ad esempio, al punto zero per l’intervallo aperto ]0,1[.

Il teorema ponte afferma quanto segue:
\begin{array}{c}
Dato \space l\in \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\\
f:A\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \space (A\ne \emptyset)\\ \space \\
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x)=l\\
\Longleftrightarrow\\
\forall \{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\space t.\space c.\space x_{n}\in A,\space x_{n}\ne x_{0} \space \forall n\in \mathbb{N}, \space \underset{n\rightarrow +\infty}{lim}x_{n}=x_{0}\\si\space ha \underset{n\rightarrow +\infty}{lim}f(x_{n})=l
\end{array}

Cerchiamo di tradurre quanto appena scritto. Il teorema ponte dice che una funzione f(x) ammette limite in un punto reale se e soltanto se accade che il punto in questione è di accumulazione per il dominio della funzione (deve essere approssimabile da funzioni definite nel dominio, come già abbiamo detto prima) e che la successione delle immagini (di ogni successione convergente al punto in questione) converga ad l. Insomma, comunque prendiamo una successione definita in A e convergente al punto x_zero, possiamo fare l’immagine di ogni termine della successione (essendo questi appartenenti ad A) e la successione che ne viene fuori deve convergere ad l, per ogni successione convergente ad x_zero.

Immagine via commons.wikimedia.org

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