Teorema delle proiezioni

triangle

Il teorema delle proiezioni è un teorema di trigonometria molto semplice che fornisce un metodo piuttosto intuitivo per calcolare i lati di un triangolo qualsiasi conoscendo gli altri lati e gli angoli. In particolare dice che la misura di un lato si può calcolare sommando la misura delle proiezioni degli altri due lati lungo la retta del lato in questione, tenendo ovviamente conto del segno. In pratica, dato un triangolo qualsiasi (vedi figura), si ha:
\begin{array}{c}
a= b \cos \gamma + c \cos \beta \\
b = a \cos \gamma + c \cos \alpha \\
c = a \cos \beta + b \cos \alpha
\end{array}
Da osservare che la proiezione di un lato lungo la direzione di un altro si ottiene moltiplicando il lato stesso per il coseno dell’angolo compreso. Forniamo la dimostrazione per il lato AC di misura c. È facile osservare che:
AC = AD + DC, dove D è il piede della perpendicolare ad AC passante per D, per cui AD e DC sono le proiezioni rispettivamente di AB e BC. Osserviamo che:
\begin{array}{c}
AD = a \cos \beta \\
DC = b \cos \alpha \\
\Longrightarrow AC = AD + DC = a \cos \beta + b \cos \alpha
\end{array}

…ed il teorema è dimostrato. È chiaro che gli stessi passi valgono per ognuno dei tre lati, cambiando ovviamente quel che va cambiato!

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