Tavola delle derivate

La tavola delle derivate è un utile strumento per il calcolo delle derivate, in quanto può capitare di dimenticarne qualcuna, magari agli inizi, specie quelle poco usate o quelle delle funzioni inverse. Vediamo dunque quali sono le derivate delle funzioni fondamentali, comprese le regole di derivazione, tralasciando in questa sede il significato analitico e geometrico di derivata.

Ovviamente la derivata è da intendersi rispetto alla variabile da cui dipende la funzione stessa, per cui, per evitare di appesantire la scrittura, sarà indicata con D la derivata e la variabile di riferimento sarà sempre x
\begin{array}{c}
y = k,\space k\space costante \Longrightarrow Dk=0 \\
Dx^{\alpha} = \alpha x^{\alpha – 1} \\
D \ln x = \frac{1}{x} \\
D \log_{a} x = \frac{1}{x} \log_{a} e = \frac{1}{x\ln a}\\
D\sin x = \cos x \\
D\cos x = -\sin x \\
De^{x} = e^{x} \\
Da^{x}=a^{x} \ln a
\end{array}

Vediamo a questo punto le regole di derivazione di un prodotto, di un rapporto e delle funzioni composte ed inverse, quindi scriviamo le ulteriori funzioni finora tralasciate come la tangente. Sia…
\begin{array}{c}
y=kf(x) \Longrightarrow y’=kf'(x) \\
y=u(x)\cdot v(x) \Longrightarrow y’=u’v + v’u \\
y=\frac{u(x)}{v(x)} \Longrightarrow y’=\frac{u’v-v’u}{v^{2}} \\
y=[f(x)]^{n} \Longrightarrow y’= n[f(x)]^{n-1}f'(x) \\
y=f(g(x)) \Longrightarrow y’=f'(g(x)) \cdot g'(x)
\end{array}

Infine ricordiamo che, se y = f(x) è continua ed invertibile (anche in un sottointervallo del dominio), con x = g(y) funzione inversa, si ha:
\begin{equation}
g'(y) = \frac{1}{f'(x)}
\end{equation}

Da queste formule è possibile ricavare la derivata di qualsiasi funzione. Infatti…
\begin{array}{c}
D\tan x = \frac{1}{\cos^{2}x} \\
D\cot x = -\frac{1}{\sin^{2} x} \\
De^{f(x)}=e^{f(x)}f'(x) \\
Da^{f(x)}=a^{f(x)}\cdot f'(x) \cdot \ln a \\
D\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\
D\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\
D\arctan x = \frac{1}{1+x^{2}} \\
D \sinh x = \cosh x \\
D \cosh x = \sinh x \\
D \tanh x = \frac{1}{\cosh^{2}x} \\
D \coth x = -\frac{1}{\sinh^{2}x}
\end{array}