Tavola degli integrali indefiniti

Una tavola di integrali indefiniti è un utile strumento per il calcolo degli integrali, dato che almeno agli inizi può capitare di non ricordare alcuni integrali immediati. Il calcolo degli integrali è uno degli argomenti più ostici dell’analisi matematica studiata nelle scuole, non tanto per la difficoltà in sé, quanto per il fatto che non esiste un unico metodo di integrazione e bisogna sempre scegliere quello più adatto volta per volta. Non solo, resta pur sempre che un integrale può essere risolto in più modi e che alcune funzioni non sono integrabili con metodi standard. Tuttavia non ci si può apprestare al calcolo degli integrali senza conoscere almeno gli integrali immediati. Diamo dunque una tavola con tutti gli integrali immediati.

\begin{array}{c}
\int x^{n}dx= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c,\space (n \ne -1) \\
\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| +c \\
\int \sin x dx = -\cos x +c \\
\int \cos x dx = \sin x +c \\
\int \frac{1}{\cos^{2} x} dx = \tan x +c \\
\int \frac{1}{\sin^{2} x} dx = \cot x +c\\
\int \tan x dx = -ln|\sin x| +c \\
\int \cot x dx = \ln | \sin x| +c \\
\int e^{x}dx = e^{x} +c \\
\int a^{x}dx = \frac{1}{\ln a} a^{x} +c \\
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx= \arcsin x +c \\
\int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \arctan x +c \\
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x{2}}}dx = \arcsin \frac{x}{|a|} +c \\
\int \sinh x dx = \cosh x +c \\
\int \cosh x dx = \sinh x +c \\
\int \frac{1}{\cosh^{2} x} dx = \tanh x +c \\
\int \frac{1}{\sinh^{2} x} dx = -\coth x +c \\
\end{array}

Alle formule qui sopra vanno aggiunte tutte le formule che si ottengono nel caso di altri integrali immediati, nel caso in cui però nel risultato non compare una funzione dipendente dalla sola variabile x ma una funzione composta, cosa di cui tratteremo in un altro post. Ricordiamo (cosa fondamentale) che nel calcolo di integrali l’integrale di un prodotto non è il prodotto degli integrali, e che l’integrale di un rapporto non è il rapporto degli integrali. Questi errori sono piuttosto frequenti. Tuttavia, per non cadere in simili trappole, basta pensare che la derivata di un prodotto (o di un rapporto) non è il prodotto (rapporto) delle derivate, e che l’integrale può essere comunque visto come l’operazione opposta di una derivata!

Immagine via texample.net