Successioni reali e limiti

Cos’è il limite di una successione?

Abbiamo già visto qual è la definizione generale di convergenza in uno spazio topologico. Vediamo cosa accade quando lo spazio in questione è l’insieme dei numeri reali dotato della metrica euclidea. La definizione di limite, per quanto apparentemente complicata, rispecchia nient’altro che quella data per un qualsiasi spazio topologico.
\begin{array}{c}
s:n\in \mathbb{N} \rightarrow s_{n}\in \mathbb{R}\\
\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}s_{n}=l \\\overset{def}{\Longleftrightarrow} \\ \forall \epsilon >0,\space \exists \nu \in \mathbb{N} \space t.\space c.\space \forall n>\nu,\space \vert s_{n} – l\vert
\end{array}

La definizione sopra descritta ricalca perfettamente quella data negli spazi topologici in termini di intorni. Infatti, l’arbitrarietà della quantità epsilon indica l’arbitrarietà di intorni del punto l (questa volta data però in termini di intervalli e distanza da l); inoltre, il fatto che dopo un certo ni tutti i termini della successione siano a distanza da l minore di epsilon ci assicura che tutto un taglio della successione è contenuto nell’intorno arbitrariamente scelto.

In uno spazio (pseudo)metrico qualsiasi la definizione di convergenza cambia di poco: basta infatti sostituire alla metrica euclidea (rappresentata dal modulo nel caso di cui sopra) la distanza operante nello spazio scelto.

Facciamo un esempio considerando la successione degli inversi degli interi (convergente a zero). Fissato epsilon a piacere, bisogna avere che \begin{equation} \vert \frac{1}{n} \vert \frac{1}{\epsilon} \end{equation}

Fissato dunque l’indice ni uguale al primo intero maggiore di uno fratto epsilon, si è sicuri che da quel punto in poi tutti i termini della successione sono a distanza minore di epsilon dal limite che è zero.

Immagine via xkcd.com