Successioni e convergenza

Cos’è una successione? Qual’è il comportamento di una successione? Esempio Topologia banale.

Cos’è una successione?

Intuitivamente parlando, una successione è una sequenza di oggetti a cui possiamo assegnare un numero progressivo, sempre diverso, da uno fino… all’infinito. In matematica, dato un insieme S, una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali e a valori in S, ossia:
\begin{array}{c}
S \ne \emptyset;\\ s:n\in \mathbb{N} \rightarrow s_{n}\in S
\end{array}
In pratica, una successione è una sequenza di elementi dell’insieme S. Quando si ha una successione si è soliti studiare il suo comportamento, ossia verificare se, per n che tende all’infinito, la successione converge verso un punto particolare dello spazio oppure no. (in uno spazio qualsiasi S non è possibile parlare di divergenza). Tuttavia, prima di parlare di convergenza bisogna sapere qual è la topologia di cui è dotato l’insieme S.

Perché? Perché la stessa successione può convergere o non convergere a seconda della topologia; non solo, la stessa successione potrebbe convergere anche a più punti. Vediamo qual è la definizione di convergenza in una topologia.

Dato lo spazio topologico (S, T) e una successione s, diremo…
\begin{array}{c}
\{s_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \space converge\space al\space punto\space a \\\Longleftrightarrow \\\forall A\in T : a\in A,\exists m\in \mathbb{N} :{s_{n}}\in A, \forall n>m
\end{array}

Questa definizione dice che, affinché la successione converga al punto a, è necessario che comunque si prenda un aperto contenente a tale aperto deve contenere tutti gli elementi della successione a partire da un certo intero naturale in poi.

Facciamo un esempio. Consideriamo, nell’insieme dei numeri reali, la successione degli inversi degli interi, ossia
\begin{equation}
s:n\in \mathbb{N} \rightarrow \frac{1}{n} \in \mathbb{R}
\end{equation}

Il senso comune ci dice che tale successione converge a zero, ed è ciò che in effetti accade nella topologia naturale. Consideriamo però due altri tipi di topologie. Se prendo la topologia discreta, quella cioè che coincide con l’insieme delle parti, tale successione non converge! Infatti, tra i tanti aperti contenenti zero esiste il singleton di zero, che non contiene altri numeri reali (e dunque non contiene altri inversi di interi) se non zero stesso. In pratica…
\begin{array}{c}
(\mathbb{R},T_{discreta})\\\exists \{0\} \in T,\not\exists n\in \mathbb{N}:\frac{1}{n}\in \{0\}
\end{array}

Avendo trovato dunque un aperto che nega la definizione di convergenza data, la successione non converge a zero né a nessun altro numero reale per lo stesso discorso.

Topologia banale

Proviamo con la topologia banale, i cui unici elementi sono R ed il vuoto. Preso un qualsiasi numero reale, l’unico aperto che lo contiene è R. Pertanto, per ogni numero reale è verificata la definizione e quindi la successione degli inversi dei numeri interi converge ad ogni numero reale… strano ma vero!