Successioni di Cauchy
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Cos’è una successione di Cauchy?
Abbiamo già visto cos’è, in generale, una successione, e come si definisce il limite in uno spazio metrico. Vediamo cos’è una successione di Cauchy in uno spazio metrico e quali sono le conseguenze nel campo dei numeri reali che più utilizziamo nella pratica. Sia dato dunque uno spazio metrico (S,d).
\begin{array}{c}
\{s_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \space e’ \space una\space successione\space di\space Cauchy \\ \overset{def}{\Longleftrightarrow} \\
\forall \epsilon >0 \space \exists \nu \in \mathbb{N} \space tale\space che\space \forall m,n\in \mathbb{N},\space n,m > \nu, \vert s_{n}-s_{m} \vert
\end{array}
Osserviamo che nella definizione appena data non è detto che la successione ammette limite, ma soltanto che da un certo punto in poi gli elementi della successione sono arbitrariamente vicini. Affinché la successione ammetta limite c’è bisogno di alcune condizioni dello spazio di cui non tutti gli insiemi godono. Facciamo un esempio: la successione
\begin{equation}
(1+\frac{1}{n})^{n}
\end{equation}
è una successione di numeri razionali che non converge ad un numero razionale; pertanto, se volessimo un limite razionale, non lo troveremmo. Tuttavia la successione di cui sopra converge in R in quanto converge ad un numero irrazionale, in particolare al numero di Nepero e.
Uno spazio in cui tutte le successioni di Cauchy convergono si definisce completo. È facile dimostrare che nell’insieme dei numeri reali ogni successione convergente è di Cauchy e viceversa, il che dimostra contemporaneamente la completezza dello spazio. Dimostriamo in questa sede che, data una successione convergente ad un certo limite l, essa è di Cauchy.
\begin{array}{c}
\{s_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \rightarrow l.\\
Fissato \space \frac{\epsilon}{2} > 0, \space \exists \nu \in \mathbb{N} \space : \space \forall m > \nu,\space \vert s_{m}-l \vert
\Longrightarrow \forall m,n > \nu,\space \vert s_{n}-s_{m} \vert = \vert s_{n}-l+l-s_{m} \vert \leq \\ \leq \vert s_{n}-l \vert + \vert s_{m}-l \vert
\end{array}
La convergenza della successione ci assicura dunque che essa è di Cauchy. Si può dimostrare anche il viceversa (in R o C) mentre abbiamo visto come in alcuni spazi (Q ad esempio) una successione di Cauchy non è per forza convergente.
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