Successioni di Cauchy – 2

Cos’è una successione di Cauchy?

Abbiamo già visto precedentemente la definizione di successione di Cauchy e che una successione convergente (in R) è di Cauchy. Vediamo ora che una successione di Cauchy nell’insieme dei numeri reali è sempre convergente, completando il discorso cominciato la volta scorsa.

Cominciamo a dimostrare facilmente che ogni successione di Cauchy è limitata. Infatti…

\begin{array}{c}
Sia \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \space una\space successione\space di\space Cauchy \\ sia\space \epsilon = 1; \\ \exists \nu \in \mathbb{N} \space : \space \forall m,n > \nu, \space \vert a_{m} – a_{n} \vert
\end{array}

Quanto scoperto finora ci assicura che da un certo indice in poi i termini sono tutti limitati tra a_n meno uno e a_n più uno. Consideriamo ora l’insieme dei restanti termini della successione uniti al limite inferiore della precedente relazione, ossia
\begin{array}{c}
\{a_{1},…,a_{n-1}, a_{n} – 1 \}
\end{array}
Siccome quello sopra è un insieme finito è possibile calcolarne il minimo che possiamo chiamare m. Da quanto visto prima risulta chiaro che tutti i membri della successione risultano maggiori di m. Analogamente, considerando l’insieme
\begin{array}{c}
\{a_{1},…,a_{n-1}, a_{n} + 1 \}
\end{array}
è possibile trovarne il massimo e chiamarlo M, per cui tutti i termini della successione risultano minori di M. Per quanto detto, dunque, i termini della successione risultano tutti compresi tra m ed M, per cui la successione è limitata.

A questo punto entra in gioco il teorema di Bolzano – Weierstrass, che afferma che una successione limitata ammette un’estratta convergente. Cosa significa? Significa che dalla successione originale è possibile estrarne un’altra che converge… ovviamente ad un numero reale. Dunque…
\begin{array}{c}
\exists \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb{N}} \space : \space a_{n_{k}}\rightarrow l \in \mathbb{R}
\end{array}
A questo punto, fissato…
\begin{array}{c}
\frac{\epsilon}{2} > 0…\\
1.\space \exists k \in \mathbb{N} \space : \space k_{0} > k \rightarrow \vert a_{n_{k_{0}}} – l \vert
2.\space \exists \nu \in \mathbb{N} \space : \space m,n > \nu \rightarrow \vert a_{n} – a_{m} \vert
3.\space n,\space k_{0} > max\{k,\nu\} \rightarrow \vert a_{n} – l\vert = \vert a_{n} – a_{n_{k_{0}}} + a_{n_{k_{0}}} -l\vert \leq \\ \leq \vert a_{n} – a_{n_{k_{0}}}\vert + \vert a_{n_{k_{0}}} -l\vert
\end{array}

La successione originaria dunque soddisfa la definizione di convergenza, pertanto è anch’essa convergente oltre alla sua estratta ed il limite è lo stesso.

Immagine via neweyes.atlblogs.com