Studio di funzione


integral

Come si studia una funzione?
Nel compito di matematica del liceo scientifico è presente praticamente sempre lo studio di una funzione. I passi da fare sono sempre gli stessi per ogni funzione ovviamente; tuttavia procedere con un certo ordine può facilitare di molto alcune operazioni, come ad esempio lo studio dei limiti.Procediamo dunque per… passi

Passo 1. Dominio. Il dominio, talvolta detto anche campo di esistenza, è il primo passo fondamentale per lo studio corretto di una funzione; ecco di seguito alcuni esempi di problemi di esistenza;
Passo 2. Positività. Questo passo non è obbligatorio, tuttavia semplifica di molto la vita in due casi: innanzitutto nel disegno del grafico, in quanto ci dice esattamente in quali zone del piano cartesiano si trova la funzione; secondo, è di aiuto nel calcolo dei limiti poiché fornisce in maniera immediata il segno di un limite senza dover fare calcoli astrusi tra il segno di un infinitesimo e quelli di un altro!
Passo 3. Limiti. La prima cosa da ricordare è che i limiti vanno fatti SOLTANTO agli estremi del dominio, ossia nei punti di accumulazione del dominio della funzione. Facciamo un semplice esempio: consideriamo la funzione f(x) = Log x. Il dominio di questa funzione è il semiasse positivo delle x, zero escluso. Pertanto…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
\lim_{x \rightarrow \ -\infty} \log x \\
\lim_{x \rightarrow \ 0^{-}} \log x \end{array} \space ERRORI\space GRAVI!!!
\end{equation}

Anche considerare l’approssimarsi a zero per valori negativi è un errore in quanto nessun valore negativo appartiene al dominio della funzione!
Da ricordare che lo studio dei limiti fornisce le equazioni di eventuali asintoti orizzontali od obliqui (limiti all’infinito) e verticali (limiti al finito).
Passo 4. Derivata prima. Lo studio della derivata prima è un altro passo fondamentale: innanzitutto ci dice dove la funzione è crescente (e dove decrescente), quindi indirettamente fornisce l’eventuale presenza di massimi o minimi relativi.
Passo 5. Derivata seconda. Lo studio della derivata seconda è spesso omesso; in effetti se ne può fare a meno quando risulta chiaro dalla derivata prima (e dai passi precedenti) che la funzione non ammette flessi; tuttavia lo studio della derivata seconda ci restituisce la presenza dei flessi ed aiuta in un corretto disegno del grafico.

Continua: Soluzione problema 2 matematica maturità 2011





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