Spazi ultrametrici

Cos’è uno spazio ultrametrico?

Abbiamo già parlato in passato di metrica, dando una definizione generale e alcuni esempi di metriche e pseudometriche. Vediamo ora cosa si intende per ultrametrica e quindi per spazio ultrametrico.

Dato un insieme non vuoto X, la funzione…

\begin{array}{c}
d:X \times X \rightarrow \mathbb{R} \space e’ \space una \space ultrametrica \\ \overset{def}{\Longleftrightarrow} \\
1.\space d(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x=y \\
2.\space d(x,y) \leq max\{d(x,z), d(y,z)\},\space \forall x,y,z \in X
\end{array}

Osserviamo che la disuguaglianza 2. è una richiesta molto più forte dell’usuale disuguaglianza triangolare incontrata trattando di metriche o comunque pseudometriche. Infatti…

\begin{equation}
d(x,y) \leq max\{d(x,z), d(y,z)\} \leq d(x,z) + d(y,z)
\end{equation}

per cui ogni ultrametrica è una metrica ma non è vero il viceversa, quanto meno non sempre. Facciamo un esempio di ultrametrica. Consideriamo l’insieme dei numeri interi ed un numero primo p. È possibile scrivere un numero intero z nel seguente modo:
\begin{equation}
z=p^{n}y
\end{equation}

in maniera univoca, con p e y primi tra loro e con n maggiore o uguale a zero. Si definisce dunque l’ordine p-adico di z come:
\begin{equation}
o_{p}(z)=max\{n\in \mathbb{N} \space : \space p^{n} | z\}
\end{equation}

È facile verificare che:
\begin{array}{c}
1.\space o_{p}(zw) = o_{p}(z) + o_{p}(w) \\
2. \space o_{p}(z+w) \geq min\{o_{p}(z), o_{p}(w)\}
\end{array}

In base all’ordine p-adico sopra definito ed alle sue proprietà è possibile definire la norma p-adica su Z nel seguente modo:

\begin{equation}
|x|_{p}=\{\begin{array}{c}
1.\space p^{-o_{p}(x)} = \frac{1}{o_{p}(x)},\space se \space x \ne 0; \\
2. \space 0,\space se \space x = 0
\end{array}
\end{equation}

Risulta chiaro dunque (e facilmente dimostrabile) che
\begin{array}{c}
|zw|_{p} = |z|_{p} \cdot |w|_{p}; \\
|z+w|_{p} \leq max\{|z|_{p}, |w|_{p}\}
\end{array}
Pertanto, analogamente a quanto fatto per la metrica euclidea, ponendo:
\begin{equation}
d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}
\end{equation}
si ottiene la definizione della metrica p-adica sull’insieme dei numeri interi.

Concludendo questa prima introduzione alle ultrametriche, diciamo che uno spazio (X,d) è uno spazio ultrametrico se X è non vuoto e d è una ultrametrica.

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