Spazi topologici

Cos’è uno spazio topologico?

Uno spazio topologico è una coppia (S, T) dove S è un insieme non vuoto e T è un sottoinsieme dell’insieme delle parti di S che gode delle seguenti proprietà:
\begin{array}{c}
1.\space \emptyset,S \in T\\ 2.\space A_{1},A_{2} \in T \Longrightarrow A_{1} \cap A_{2} \in T \\ 3.\space \{A_{i}\}_{i\in \mathbb{N}} \in T \Longrightarrow \underset{i \in \mathbb{N}}{\cup}A_{i} \in T
\end{array}

Ricordiamo (in barba ai giochi di parole) che l’insieme delle parti P(S) di un dato insieme (S) è l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi; pertanto, una topologia in un dato insieme S è un insieme di sottoinsiemi (di S), detti in questo caso aperti, che gode delle proprietà sopra descritte. Per spiegare le tre proprietà diciamo che:

1. la topologia T deve contenere l’insieme vuoto e tutto l’insieme S;
2. la topologia deve essere chiusa per le intersezioni finite: ossia, preso un numero finito (IMPORTANTISSIMO!!!) di elementi di T, la loro intersezione è ancora un elemento di T;
3. la topologia deve essere chiusa rispetto alle unioni arbitrarie: significa che, qualunque sia il numero di insiemi che prendiamo (eventualmente infiniti), la loro unione è ancora un elemento della collezione T.

La topologia è la generalizzazione del concetto di vicinanza: grazie ad essa è possibile dare definizioni (ad esempio, la convergenza) in spazi in cui non è possibile introdurre una metrica (gli spazi metrici sono una classe molto ristretta degli spazi topologici). Soprattutto, è possibile generalizzare molti concetti naturali degli spazi metrici. Vedremo poi alcune conclusioni alquanto sorprendenti se trattate dal punto di vista topologico. Tuttavia, seppur vista sempre a livello universitario, la topologia è molto utile a capire concetti di natura elementare come la convergenza, o teoremi spesso studiati alle scuole superiori come quello di Weierstrass. Diamo, per concludere, due esempi immediati di topologia.

Dato un insieme non vuoto S, due topologie su S sono:
\begin{array}{c}
1.\space T=P(S) \\ 2.\space T= \{S,\emptyset\}
\end{array}

La prima è detta topologia discreta, la seconda topologia banale.

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