Spazi topologici 2

chiuso

Abbiamo già detto cos’è uno spazio topologico e dato quindi la definizione di topologia attraverso gli aperti e attraverso le basi. È tuttavia possibile definire una topologia attraverso altri tipi di insiemi che hanno proprietà duali rispetto agli aperti. Vediamo.

Dato uno spazio topologico, si definisce chiuso il complementare di un aperto. Pertanto, in uno spazio topologico S con assegnata topologia si ha:
\begin{equation}
A \space aperto \Longrightarrow S \setminus A \space chiuso
\end{equation}

Quali sono le proprietà degli insiemi chiusi? Esse si possono derivare facilmente attraverso le leggi di De Morgan. Infatti:
\begin{array}{c}
S \setminus \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}A_{n} = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}A_{n} \\
S \setminus \underset{n=1}{\overset{k}{\cap}}A_{n} = \underset{n=1}{\overset{k}{\cup}}A_{n}
\end{array}

Ricordiamo che la famiglia degli aperti è chiusa per le unioni arbitrarie e per le intersezioni finite, per cui, dovendo passare ai complementari, si ha che la famiglia dei chiusi contiene tutte le intersezioni arbitrarie e tutte le unioni finite dei suoi elementi. È chiaro poi che l’insieme tutto ed il vuoto sono l’uno il complementare dell’altro. Per quanto visto è dunque possibile definire una topologia anche attraverso gli insiemi chiusi, purché tale famiglia soddisfi le proprietà sopra elencate. Pertanto, se K è la famiglia dei chiusi, affinché definisca una topologia c’è bisogno che essa soddisfi le seguenti proprietà:
\begin{array}{c}
1. \space S, \emptyset \in K; \\
2. \space \forall \{K_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \in K \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}K_{n} \in K; \\
3. \forall \{K_{1},…,K_{n}\} \in K \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{k}{\cup}}K_{n} \in K.
\end{array}

L’immagine, via flickr.com, sarà spiegata successivamente! Stay tuned!

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