Soluzione problemi matematica maturità 2012

Soluzione problemi matematica maturità 2012

Problema 1.
\begin{array}{c}
f(x) = \mid 27x^{3} \mid \\
g(x) = \sin (\frac{3}{2} \pi x)
\end{array}
Punto 1.Il periodo della funzione g è dato dalla formula:
\begin{equation}
T= \frac{2\pi}{\frac{3}{2}\pi} = \frac{4}{3}
\end{equation}

Pertanto la funzione g va studiata nel solo intervallo
\begin{equation}
[0,\frac{4}{3} ]
\end{equation}

Studio della funzione f
\begin{array}{c}
Dominio = \mathbb{R} \\
f(-x) = \mid 27(-x)^{3} \mid = \mid -27x^{3} \mid = \mid 27x^{3} \mid = f(x) \\ \Longrightarrow funzione\space pari
\end{array}
Pertanto è possibile studiare la funzione nel solo intervallo
\begin{equation}
[0, +\infty[
\end{equation}
ricordando alla fine di simmetrizzare tutta la funzione rispetto all’asse y.
\begin{array}{c}
f(x) \geq 0 \forall x \in [0,+\infty[ \\
f(x) = 0 \Longrightarrow x = 0 \space (intersezione\space con\space gli\space assi) \\
\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty \\
f'(x) = 81x^{2} \\
f'(x) \geq 0 \space \forall x \in [0,+\infty [ \Longrightarrow (funzione\space crescente)
f'(x) = 0 \Longrightarrow x = 0
f”(x) = 162x \\
f”(x) \geq 0 \forall x \in [0, +\infty[ \\
f”(x) = 0 \Longrightarrow x = 0 (flesso\space a\space tangente\space orizzontale)
\end{array}

Studio della funzione g

\begin{array}{c}
Dominio = \mathbb{R} \\
x = 0 \Longrightarrow y = 0 (intersezione\space asse\space y) \\
g(x) \geq 0 \Longrightarrow 0 +2k\pi \leq \frac{3}{2}\pi x \leq \pi +2k\pi \Longrightarrow 0 + \frac{4}{3}k \leq x \leq \frac{2}{3} + \frac{4}{3} k, \space k \in \mathbb{Z}\\
g(x) = 0 \Longrightarrow x = \frac{2}{3}k, k \in \mathbb{Z} \space (intersezione\space con\space l’asse\space x)
g'(x) = \frac{3}{2}\pi \cos (\frac{3}{2} \pi x) \\
g'(x) \geq 0 \Longrightarrow -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \frac{3}{2}\pi x \leq \frac{pi}{2} +2k\pi \\
\Longrightarrow -\frac{1}{3} +\frac{4}{3}k \leq x \leq \frac{1}{3} +\frac{4}{3}k,\space k\in \mathbb{Z} \\
\Longrightarrow x = \frac{1}{3} +\frac{4}{3}k,\space k\in \mathbb{Z} \space massimi \space relativi \\
\Longrightarrow x = -\frac{1}{3} +\frac{4}{3}k, \space k\in \mathbb{Z} \space minimi \space relativi \\
g”(x) = -\frac{9}{4} \pi^{2} \sin (\frac{3}{2}\pi x) \\
g” = 0 \Longrightarrow x = x = \frac{2}{3}k, k \in \mathbb{Z} \space (cambi\space di\space concavita’)
\end{array}

Punto 2.
Calcolo dell’equazione della retta r.
\begin{array}{c}
f(\frac{1}{3}) = 1 \\
f'(\frac{1}{3}) = 9 \\
r: y – 1 = 9(x -\frac{1}{3}) \Longrightarrow y = 9x -3+1 \\
r: y = 9x-2 \\
\\
g(\frac{1}{3})= 1 \\
g'(\frac{1}{3}) = 0 \\
s: y -1 = 0 \Longrightarrow s: y = 1
\end{array}
Per calcolare l’angolo compreso tra le due rette bisogna prima calcolare la sua tangente con la formula:
\begin{equation}
\tan \theta = \frac{\mid m_{1} – m_{2} \mid}{1+m_{1}m_{2}}
\end{equation}
Sostituendo ai coefficienti angolari della formula quelli delle rette r ed s (che coincidono con i valori delle rispettive derivate prima nel punto) si ha:
\begin{array}{c}
\tan \theta_{r,s} = \frac{\mid 9 – 0 \mid}{1+0} = 9 \\
\Longrightarrow \theta_{r,s} = \arctan 9
\end{array}

Punto 3.
Bisogna innanzitutto trovare i punti di intersezione tra le due funzioni.
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
y= \mid 27x^{3} \mid \\
y = \sin (\frac{3}{2} \pi x)
\end{array}
\Longrightarrow x= 0, \frac{1}{3}
\end{equation}
Trovati i punti di intersezione, si ha:
\begin{array}{c}
A_{R} = \mid \int_{0}^{\frac{1}{3}} (27x^{3} – \sin(\frac{3}{2} \pi x) ) dx \mid = \\
= \mid \frac{27}{4}x^{4} + \frac{2}{3\pi} \cos (\frac{3}{2}\pi) \mid_{0}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\pi} – \frac{1}{12}
\end{array}

Punto 4.
N.B.: per calcolare il solido generato dalla rotazione dell’area R intorno all’asse y bisogna prima riscrivere le due funzioni come x = h(y)
\begin{array}{c}
V_{S} = \pi \int_{0}^{\frac{1}{3}} (27x^{3} – \sin(\frac{3}{2} \pi x) )^{2}dx
\end{array}
Riscriviamo le funzioni:
\begin{array}{c}
f(x) = 27x^{3} \Longrightarrow y = 27x^{3} \Longrightarrow x^{3}=\frac{y}{27} \Longrightarrow x = \frac{\sqrt[3]{y}}{3} \\
\\
g(x) = \sin (\frac{3}{2} \pi x) \Longrightarrow y = \sin (\frac{3}{2} \pi x) \\
\arcsin{y} = \frac{3}{2}\pi x \Longrightarrow x = \frac{2}{3\pi} \arcsin{y} \\
V_{T} = \pi \int_{0}^{1} (\frac{\sqrt[3]{y}}{3} – \frac{2}{3\pi} \arcsin{y})^{2}dy
\end{array}
Da osservare che il limite superiore del secondo integrale è 1 poiché in questo caso bisogna tener conto dell’ordinata e non dell’ascissa.

PROBLEMA 2.
Scriviamo le equazioni delle due curve…
\begin{array}{c}
C: x^{2}+y^{2} = 9 \\
L: x^{2}=9-6y \Longleftrightarrow y = \frac{3}{2}-\frac{x^{2}}{6}
\end{array}
(osserviamo che la circonferenza C ha centro (0,0) e raggio 3)
…e della retta:
\begin{array}{c}
y’_{L} = -\frac{1}{3}x \Longrightarrow y’_{L}(3)=-1 \\
r: y=-x+3
\end{array}

Punto 1.
Piuttosto che procedere per via integrale, è preferibile notare che la retta r passa esattamente per il punto B(0,3) e che l’area compresa tra la circonferenza e la retta non è altro che la differenza tra l’area di un quarto di cerchio e l’area di un triangolo rettangolo isoscele. Pertanto…
\begin{array}{c}
A_{C,r} = \frac{1}{4}\pi 3^{2} – \frac{3\cdot3}{2} = \frac{9}{4}\pi – \frac{9}{2}
\end{array}
Per quanto riguarda la seconda area va calcolato almeno un integrale (quello dell’area direttamente o quello della sola parte compresa tra la parabola e l’asse x). Procedendo in maniera diretta si ha:
\begin{array}{c}
A_{L,r}=\int_{0}^{3}[(-x+3)-(\frac{3}{2}-\frac{x^{2}}{6})]dx = \\
= [-\frac{x^{2}}{2}+\frac{3}{2}x + \frac{x^{3}}{18}]_{0}^{3} = \frac{3}{2}
\end{array}
Punto 2.
Basta “sommare” tutte le aree, quindi…
\begin{array}{c}
V_{W} = \int_{0}^{3}e^{5-3x}dx = [-\frac{1}{3}e^{5-3x}]_{0}^{\frac{1}{3}} = \\
= -\frac{1}{3}e^{-4}+\frac{1}{3}e^{5}
\end{array}

Punto 3.
Piuttosto che seguire la strada canonica e calcolare l’area a partire dalla differenza delle due curve, è più conveniente, data la presenza della radice, calcolare i volumi generati dalle due curve in maniera separata e quindi sottrarne i risultati. Osserviamo che il volume generato dalla rotazione del quarto di circonferenza è una semisfera, pertanto:
\begin{array}{c}
V_{C} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{2} = (\frac{4}{3}\pi 3^{3})\frac{1}{2}= \\
= \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{2} = 18\pi
\end{array}
Per quanto riguarda il secondo volume si procede in maniera canonica…
\begin{array}{c}
V_{L}=\pi \int_{0}^{3}(\frac{3}{2} -\frac{x^{2}}{6})^{2})dx =
\pi \int_{0}^{3}(\frac{9}{4}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{36})dx = \\
= \pi [\frac{9}{4}x -\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{180}]_{0}^{3} = \pi(\frac{27}{4}-\frac{27}{6}+\frac{27}{20}) = 27 \pi (\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{20})=…=\frac{18}{5}\pi
\end{array}
Il volume totale pertanto sarà:
\begin{equation}
V_{R} = 18\pi – \frac{18}{5} \pi = \frac{72}{5} \pi
\end{equation}

Punto 4.
Il modo più semplice per risolvere questo punto del problema è affrontare la questione da un punto di vista puramente geometrico, giacché la strada “usuale” del determinante nullo (condizione di tangenza) o delle distanze è piuttosto laboriosa e probabilmente infruttuosa.
Osserviamo innanzitutto che una qualsiasi circonferenza con centro sulla parabola e tangente all’asse x ha raggio pari al valore della funzione nel punto, ossia, preso un qualsiasi x = a, un punto della parabola ha coordinate
\begin{equation}
(a, \frac{3}{2} – \frac{a^{2}}{6})
\end{equation}
ed il raggio della circonferenza tangente all’asse x sarà esattamente uguale alla coordinata y (in modulo). Osserviamo inoltre che, se la circonferenza piccola è tangente a quella grande, il raggio che va dal centro (della piccola) alla circonferenza grande deve per forza trovarsi su di un raggio della circonferenza grande, altrimenti cade la condizione di tangenza. A questo punto, invece che ragionare sul raggio della piccola è molto più utile ragionare su quello della circonferenza grande: se le due circonferenze sono tangenti, la distanza tra i due centri sarà esattamente uguale alla differenza tra i due raggi! Pertanto…
\begin{array}{c}
d(O, C_{L}) = \sqrt{a^{2} + (\frac{3}{2} – \frac{a^{2}}{6})^{2}} = \\
= \sqrt{a^{2}+\frac{9}{4} – \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{4}}{36}}= \sqrt{a^{2}+\frac{9}{4} + \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{4}}{36}} = \\
= \mid (\frac{a^{2}}{6}+\frac{3}{2}) \mid
\end{array}
Siccome
\begin{equation}
0 \leq a \leq 3
\end{equation}
è possibile fare a meno del valore assoluto; inoltre è facile osservare che:
\begin{array}{c}
3 – (\frac{a^{2}}{6}+\frac{3}{2}) = -\frac{a^{2}}{6}+\frac{3}{2}
\end{array}
che è esattamente pari al raggio della circonferenza piccola, laddove 3 è il raggio di quella grande.

QUESITI

Quesito 1.
Il limite rappresenta la derivata della funzione
\begin{equation}
y = 5x^{4}
\end{equation}
nel punto di ascissa
\begin{equation}
x = \frac{1}{2}
\end{equation}

Quesito 2.
Con il termine asintoto si indica una retta alla quale una funzione data si avvicina indefinitamente senza mai toccarla se non all’infinito. Esempio:
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{x^{2}-9}
\end{equation}
è un esempio di funzione che ammette un asintoto orizzontale (y = 0) e due verticali (x = -3 e x = 3)

Quesito 3.
Sebbene l’equazione non sia nella forma canonica (poiché non è presente alcun termine che moltiplica il tempo al quadrato), per calcolare l’accelerazione basta calcolare la derivata seconda dell’equazione del moto e valutarla all’istante t = 4. Pertanto:
\begin{array}{c}
s(t) = 40e^{-\frac{t}{2}}+20t -40) \\
s'(t) = -20e^{-\frac{t}{2}} +20 \\
s”(t) = 10e^{-\frac{t}{2}} \\
\Longrightarrow s”(t=4) = 10e^{-2}
\end{array}

Quesito 4.
In un cono si ha:
\begin{array}{c}
a^{2} = h^{2}+r^{2} \Longrightarrow r^{2} = a^{2} -h^{2} \\
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
\end{array}
Sostituendo i valori di r (in funzione di h) e a nella formula del volume si ha:
\begin{array}{c}
V=\frac{\pi (1-h^{2})h}{3}
\end{array}
la cui derivata ammette:
\begin{array}{c}
min: x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
max: x = \frac{\sqrt{3}}{3}
\end{array}
Il risultato finale va ovviamente riportato in litri, ossia in decimetri cubi, per cui va moltiplicato per 10^3.

Quesito 6
Ricordando le formule di duplicazione
\begin{array}{c}
\sin{2x} = 2\sin{x} \cos{x} \\
\cos{2x} = \cos^{2}{x} – \sin^{2}{x}
\end{array}
riscriviamo innanzitutto la funzione per semplificare i calcoli:
\begin{equation}
f(x) = \frac{5}{2}\sin{2x} + \cos{2x} -\frac{5}{2} \sin{2x} – \cos{2x} -17 = -17
\end{equation}
Pertanto:
\begin{equation}
f'(x) = 0
\end{equation}

Quesito 10.
L’unica funzione sempre positiva è quella corrispondente alla lettera A, ossia
\begin{equation}
\cos{\sin{x^{2}+1}}
\end{equation}
La funzione interna seno ha infatti come risultati tutto l’intervallo reale [-1 , 1], mentre la funzione esterna coseno è positiva
\begin{array}{c}
\forall x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}],\space con \\
[-1,1] \subset [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
\end{array}
L’inclusione assicura che la funzione interamente considerata assume valori positivi per ogni x reale.
Tutte le altre funzioni invece ammettono sia valori positivi che negativi.