Soluzione problema 2 matematica maturità 2011

Soluzione problema 2 matematica maturità 2011

Punto 1.
La condizione f(0) = 2 implica immediatamente che b = -1. Infatti:
\begin{equation}
f(0) = b+3 = 2 \Longrightarrow b=-1
\end{equation}
Per l’altra condizione bisogna derivare la funzione ed imporre che il valore di massimo si abbia nel punto 4. Pertanto:
\begin{array}{c}
f'(x) = ae^{\frac{x}{3}} – \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}(ax-1) = \\
=e^{\frac{x}{3}}(a-\frac{1}{3}ax +^\frac{1}{3}) \\
\Longrightarrow a-\frac{1}{3}ax +^\frac{1}{3} \geq 0 \\
\Longrightarrow 3a-ax+1=0 \Longrightarrow x=\frac{3a+1}{a}
\end{array}
Imponendo che il massimo deve trovarsi nel punto 4 si ha:
\begin{array}{c}
\frac{3a+1}{a} = 4 \Longrightarrow 3a+1 = 4a \\
\Longrightarrow a = 1
\end{array}
La funzione pertanto è:
\begin{equation}
f(x) = (x-1)e^{-\frac{x}{3}} +3
\end{equation}
come volevasi dimostrare.

Punto 2.
Studio dei limiti.
\begin{array}{c}
\lim_{x \rightarrow -\infty}(x-1)e^{-\frac{x}{3}} +3 = -\infty \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{(x-1)e^{-\frac{x}{3}} +3}{x} = +\infty
\lim_{x \rightarrow \infty}(x-1)e^{-\frac{x}{3}} +3 = 3
\end{array}
La retta y = 3 risulta essere pertanto un asintoto orizzontale a più infinito.
Studio della derivata prima.
Utilizzando la forma già ottenuta prima per f'(x) si ha, sostituendo il parametro a, che:
\begin{array}{c}
f'(x) = e^{-\frac{x}{3}}(\frac{4}{3}-x)
\Longrightarrow f'(x) \geq 0 \Longrightarrow (\frac{4}{3}-x) \geq 0
\end{array}
(da notare che l’esponenziale è sempre positivo, per cui è inutile studiarne il segno). Da questo si ottiene:
\begin{array}{c}
x \leq \frac{4}{3} \\
\Longrightarrow M(\frac{4}{3},\frac{1}{3}e^{-\frac{4}{9}}+3)
\end{array}
che è un massimo relativo.

Osservando che per x = 0 si ha y = 2 si può disegnare il grafico della funzione:

Punto 3.
Per il calcolo dell’area basta calcolare il punto d’intersezione trala retta e la funzione, quindi l’integrale della differenza tra la retta e la funzione. Pertanto:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
y = 3 \\
y= (x-1)e^{-\frac{x}{3}} +3
\end{array}
\Longrightarrow x = 1
\end{equation}
L’equazione da risolvere è infatti:
\begin{equation}
(x-1)e^{-\frac{x}{3}}= 0
\end{equation}
ricordando che la funzione esponenziale non ammette zeri, da cui x = 1. Pertanto:
\begin{array}{c}
A=\int_{0}^{1}[3-[(x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3]dx = – \int_{0}^{1}(x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx = \\
-\int_{0}^{1}xe^{-\frac{x}{3}}dx + \int_{0}^{1}e^{-\frac{x}{3}}dx = \\
= [3xe^{-\frac{x}{3}}+9e^{-\frac{x}{3}} – 3e^{-\frac{x}{3}}]_{0}^{1} = \\
= 3e^{-\frac{1}{3}} +9e^{-\frac{1}{3}} -3e^{-\frac{1}{3}}-(9-3) = \\
=9e^{-\frac{1}{3}}-6
\end{array}