Solidi di rotazione

Per solidi di rotazione si intendono tutti quei solidi (figure tridimensionali) ottenuti dalla rotazione (intorno ad un asse) di una particolare figura geometrica piana. Guardiamo in particolare il cilindro, il cono e la sfera. Le formule che servono sono quelle dell’area (laterale e di base nei primi due casi) e del volume. Ricordiamo che tali formule possono tornare utili anche all’esame di maturità nel caso di un problema di geometria solida.

Cilindro. Il cilindro può essere visto come il risultato della rotazione di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.
\begin{array}{c}
A_{base}=\pi r^{2} \\
A_{laterale} = 2 \pi rh \\
A_{totale} = A_{laterale} + 2A_{base} \\
V=\pi r^{2}h
\end{array}

Giustifichiamo tali formule. La base è costituita da un cerchio, per cui l’area di base è nient’altro che l’area di un cerchio. Se tagliamo un cilindro lungo una generatrice, ossia lungo una retta parallela all’altezza, otteniamo un rettangolo 2 pi r (ossia la lunghezza della circonferenza di base) e di altezza h. Per l’area totale bisogna sommare due volte l’area di base poiché il cilindro ha due basi. Infine, il volume è dato dalla somma di tutte le aree dei cerchi per tutta la lunghezza del cilindro.

Cono. Il cono può essere visto come la rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti.
\begin{array}{c}
A_{base}=\pi r^{2} \\
A_{laterale} = \pi ra,\space a=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\
A_{totale} = A_{laterale} + A_{base} \\
V=\frac{\pi r^{2}h}{3}
\end{array}

Sfera. La sfera è ottenuta dalla rotazione completa di un semicerchio intorno al suo diametro.
\begin{array}{c}
A = 4 \pi r^{2} \\
V=\frac{4\pi r^{3}}{3}
\end{array}

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