Simmetria puntuale

Stando alla definizione (italiana), per simmetria si intende la distribuzione ordinata dei punti di un oggetto (o comunque delle sue parti) in maniera tale da poter individuare un elemento geometrico (punto, retta, superficie) in modo che ad ogni punto dell’oggetto in questione posto da una parte dell’elemento corrisponda, ad uguale distanza, un punto dall’altra parte.

Per riassumere quanto scritto sopra, se due punti sono simmetrici rispetto ad un certo elemento geometrico significa che su di esso giace il punto medio del segmento che unisce i due punti. Non solo, se l’oggetto è una retta o una superficie, il segmento deve essere ortogonale alla retta/superficie.
Cominciamo dalla simmetria puntuale: due punti P e P’ sono simmetrici rispetto ad un terzo punto A se quest’ultimo è il punto medio del segmento PP’. In formule:
\begin{array}{c}
A(\alpha,\beta), \space P(x,y), \space P'(x’,y’) \\
P’\space simmetrico\space di\space P\space rispetto\space ad\space A \\
\Longleftrightarrow \\
\frac{x+x’}{2}=\alpha,\space \frac{y+y’}{2} = \beta
\end{array}

A questo punto, conoscendo la relazione che lega un punto al suo simmetrico (e conoscendo le coordinate del centro di simmetria), è facile trovare le equazioni che legano ogni punto del piano/oggetto al suo simmetrico. Infatti:
\begin{equation}
\{
\begin{array}{c}
\frac{x+x’}{2}=\alpha \\ \frac{y+y’}{2} = \beta \end{array} \Longrightarrow \{ \begin{array}{c} x=2\alpha – x’ \\ y=2\beta – y’ \end{array} oppure \{ \begin{array}{c} x’=2\alpha – x \\ y’=2\beta – y
\end{array}
\end{equation}

Come al solito è più semplice ricordare la definizione che le formule, in quanto attraverso la definizione è possibile risalire facilmente alle formule di qualsiasi altra simmetria, cosa che non è possibile se si conoscono a memoria le formule senza saperne interpretare il significato! Come caso particolare, vediamo che se il centro di simmetria è l’origine degli assi O (0,0) le equazioni diventano semplicemente:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} x’ = -x \\ y’ = -y \end{array}
\end{equation}

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