Simmetria assiale

Due punti sono simmetrici rispetto ad una retta (detta asse di simmetria) se il segmento che li congiunge è perpendicolare alla retta stessa ed ha su di essa il punto medio.

Resta dunque da vedere come collegare le coordinate di un punto con il suo simmetrico. Come impostare le equazioni? Supponiamo di avere le coordinate di un punto A (s,t) e l’equazione di una retta del tipo r : ax + by + c = 0. Se P (x,y) è il simmetrico di A deve accadere che il punto medio di AP si trovi su r e che il segmento AP sia ortogonale ad r. In maniera analitica tutto ciò si esprime nel seguente sistema:
\begin{equation}
A(s,t),\space r:ax+by+c=0,\space P(x’,y’), M_{\overline{AP}} =(\frac{x’+s}{2},\frac{y’+t}{2})
\end{equation}
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} a(\frac{x’+s}{2}) + b(\frac{y’+t}{2}) + c = 0 \\ \frac{t-y’}{s-x’}=\frac{b}{a}
\end{array}
\end{equation}

La prima equazione esprime l’appartenenza del punto medio di AP all’asse di simmetria, la seconda esprime la perpendicolarità tra il segmento e l’asse.
A questo punto, per conoscere le equazioni finali che legano il punto A al suo simmetrico basta risolvere il sistema ricordando che le uniche incognite sono x’ e y’. Tuttavia non conviene farlo nel caso generale poiché verrebbe la tentazione di ricordare le equazioni a memoria, ma non è un facile compito, e soprattutto è piuttosto sconveniente. Vediamo tuttavia alcuni casi particolari di rette parallele agli assi.
\begin{array}{c}
A(x_{A},y_{A}),\space P(x’,y’),\space r: y=k \\
k = \frac{y’ + y_{A}}{2} \Longrightarrow y’ = 2k-y_{A}
\end{array}
\begin{equation}
P(x’,y’): \{ \begin{array}{c} x’ = x_{A} \\ y’ = 2k-y_{A}
\end{array}
\end{equation}

Per una retta parallela all’asse y si ha invece:
\begin{array}{c}
A(x_{A},y_{A}), \space P(x’,y’),\space r: x=k \\
k = \frac{x’ + x_{A}}{2} \Longrightarrow x’ = 2k-x_{A}
\end{array}
\begin{equation}
P(x’,y’): \{ \begin{array}{c} x’ = 2k-x_{A} \\ y’ = y_{A}
\end{array}
\end{equation}

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