Proprietà delle potenze

Conoscere le proprietà delle potenze è tutt’altro che qualcosa riguardante soltanto le scuole medie! Una buona conoscenza di tali proprietà rende più facile la comprensione di esponenziali e logaritmi, e quindi la risoluzione delle equazioni esponenziali e logaritmiche.

Per potenza di un numero si intende la moltiplicazione di un numero (la base) per se stesso tante volte quant’è il valore dell’esponente. Una potenza è dunque una coppia base – esponente (ATTENZIONE: un errore comune è quello di considerare come potenza il solo esponente). Dalle proprietà della moltiplicazione discendono quindi alcune proprietà che riguardano espressamente le potenze. Andiamo a vederle cominciando dalla definizione e considerando l’esponente un numero naturale.
\begin{array}{c}
a\in \mathbb{R},\space n \in \mathbb{N} \\
a^{n}=\underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}}
\end{array}

Prima proprietà. Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. In formule:
\begin{array}{c}
a\in \mathbb{R},\space n,m \in \mathbb{N} \\
a^{n}\cdot a^{m} = a^{m+n} \\
Infatti:\\
a^{n}\cdot a^{m}=\underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}} \cdot \underset{m\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}} = \underset{(n+m)\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}} = a^{m+n}
\end{array}

Seconda proprietà. Il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza avente come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente. In formule:
\begin{array}{c}
a,b\in \mathbb{R},\space n\in \mathbb{N} \\
a^{n}\cdot b^{n} = (ab)^{n} \\
Infatti:\\
a^{n}\cdot b^{n}=\underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}} \cdot \underset{n\space volte}{\underbrace{b\cdot …\cdot b}} = \underset{(n)\space volte}{\underbrace{(ab)\cdot …\cdot (ab)}} = (ab)^{n}
\end{array}

Terza proprietà. Il rapporto di due potenze che hanno la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. (questa proprietà è da considerarsi una conseguenza della prima nel caso in cui gli esponenti siano presi in Z o siano razionali o reali). In formule:
\begin{array}{c}
a\in \mathbb{R},\space n,m \in \mathbb{N} \\
a^{n} : a^{m} = a^{m-n} \\
\end{array}

La dimostrazione è analoga alla prima proprietà.
Quarta proprietà. Il rapporto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza avente come base il rapporto delle basi e come esponente lo stesso esponente. (questa proprietà è da considerarsi una conseguenza della seconda). In formule:
\begin{array}{c}
a,b\in \mathbb{R},\space n \in \mathbb{N} \\
a^{n} : b^{n} = (\frac{a}{b})^{n} \\
\end{array}

Quinta proprietà. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. In formule:
\begin{array}{c}
a\in \mathbb{R},\space m,n\in \mathbb{N} \\
(a^{n})^{m}=a^{m\cdot n} \\
Infatti: \\
(a^{n})^{m}=\underset{m\space volte}{\underbrace{a^{n}\cdot …\cdot a^{n}}}=\underset{m\space volte}{\underbrace{\underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}}\cdot … \cdot \underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}}}} = \\
= \underset{m\cdot n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}} = a^{n\cdot m}
\end{array}

IMPORTANTE: quando si scrive una potenza che ha per base un prodotto o un rapporto bisogna usare le parentesi, altrimenti l’esponente è da considerarsi soltanto per il numero (e non per il prodotto) che gli funge da base. Cioè:
\begin{array}{c}
1.\space (a\cdot b)^{n} \ne ab^{n} (=a\cdot \underset{n\space volte}{\underbrace{b\cdot …\cdot b}})\\
2.\space (\frac{a}{b})^{n} \ne \frac{a^{n}}{b} (= \frac{\underset{n\space volte}{\underbrace{a\cdot …\cdot a}}}{b})
\end{array}
Nel caso 1. quindi al secondo membro solo la b è elevata ad enne, mentre nel caso due soltanto la a.

Parleremo in un altro post delle potenze negative e frazionarie. Buono studio!