Proprietà dei radicali

I radicali costituiscono una parte fondamentale degli argomenti di algebra e, spesso e volentieri, un argomento piuttosto difficile da digerire. Cerchiamo dunque di esprimere al meglio cos’è un radicale (ossia una radice ennesima) e quali sono le operazioni concesse con i radicali. Partiamo dalla definizione.
\begin{array}{c}
n\in \mathbb{N},\space n\space pari,\space a\geq 0 \\
\sqrt[n]{a} = c\in \mathbb{R} \space t.\space c.\space c^{n}=a
\end{array}

\begin{array}{c}
n\in \mathbb{N},\space n\space dispari \\
\sqrt[n]{a} = c\in \mathbb{R} \space t.\space c.\space c^{n}=a
\end{array}

Qual è la differenza tra le due definizioni? Nel primo caso, quando l’indice della radice è pari, l’argomento (ossia il radicando) deve essere maggiore o uguale a zero, altrimenti il risultato non è un numero reale bensì immaginario; questo perché un numero reale elevato ad una potenza pari è sempre positivo (o nullo, se uguale a zero). Nella seconda definizione invece questo problema non sussiste e l’argomento della radice è qualsiasi. Nelle proprietà che elenchiamo sotto supponiamo per ipotesi che l’insieme di definizione sia sempre verificato. Ricordiamo inoltre che un radicale equivale ad una potenza con esponente frazionario, cioè

\begin{equation}
\sqrt[n]{x^{k}}=x^{\frac{k}{n}}
\end{equation}
il che giustifica in maniera molto semplice tutte le proprietà successive.

Prodotto e quoziente di radici con lo stesso indice
\begin{array}{c}
\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy} \\
\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}},\space y\ne 0
\end{array}
Potenza di un radicale
\begin{array}{c}
(\sqrt[n]{x})^{k}=\sqrt[n]{x^{k}} \\
(a\sqrt[n]{x})^{k}=a^{k}(\sqrt[n]{x^{k}})
\end{array}

Semplificazione di un radicale. Dopo aver scomposto in fattori l’indice della radice e la potenza del radicando, è possibile semplificare i fattori comuni (se esistono) come una normale semplificazione tra frazioni.
\begin{array}{c}
\sqrt[mn]{x^{mq}}=\sqrt[n]{x^{q}}
\end{array}

Questa proprietà vale soltanto nel caso in cui sotto radice vi sia una sola potenza ovvero il prodotto di più potenze, non vale invece con la somma o la differenza.

Trasporto dentro il segno di radice. Per trasportare un valore sotto il segno di radice (solo in caso di moltiplicazione o divisione) bisogna moltiplicare la potenza del valore per l’indice della radice
\begin{equation}
a^{k}\sqrt[n]{P(x)}=\sqrt[n]{a^{kn}\cdot P(x)}
\end{equation}

Trasporto fuori del segno di radice. Per trasportare un valore fuori dal segno di radice è necessario innanzitutto che la sua potenza sia maggiore o uguale all’indice della radice. A questo punto va fatta la divisione tra l’esponente del valore e l’indice della radice: il quoziente sarà il nuovo esponente del valore posto fuori radice, mentre l’eventuale resto sarà l’esponente del valore che resta sotto radice. In pratica:
\begin{array}{c}
\sqrt[n]{x^{k}},\space k= qn+r \\
\Longrightarrow \sqrt[n]{x^{k}} = x^{q}\sqrt[n]{x^{r}}
\end{array}

Vedremo nel prossimo post le altre proprietà dei radicali, come il prodotto di radicali con indice differente e la risoluzione dei radicali doppi.

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