Prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono dei prodotti di polinomi particolari che, imparati a memoria, consentono di svolgere molto più rapidamente i calcoli i una qualsiasi espressione algebrica. Non solo, i prodotti notevoli sono utilissimi nella scomposizione in fattori di polinomi.

Non è difficile impararli a memoria in quanto basta, come al solito, soltanto un po’ di pratica (non sono poesie insomma!). Soprattutto è sempre utile imparare la formula e non la trascrizione in italiano della formula che non è soltanto lunghissima ma talvolta induce soltanto ad errori inutili. Prima di scrivere le formule dei prodotti notevoli ricordiamo che le uguaglianze scritte valgono in entrambi i versi, nel senso che la stessa regola si può applicare sia per comporre un polinomio sia per scomporlo! Vediamo alcuni prodotti notevoli.
\begin{array}{c}
(x+y)(x-y)=x^{2} – y^{2} \space (somma\space per\space differenza) \\
quadrato\space di\space binomio: \\
(x+y)(x+y)=(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \\
(x-y)(x-y)=(x-y)^{2} = x^{2} – 2xy + y^{2} \\
cubo\space di\space binomio:\\
(x+y)^{3}= (x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} \\
In\space generale: \\
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{n-k}y^{k} \\
quadrato\space di\space trinomio: \\
(a+b+c)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc) \\
differenza\space di\space cubi: \\
(x^{3}-y^{3})=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}) \\
somma\space di\space cubi: \\
(x^{3}+y^{3})=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) \\
differenza\space di\space potenze\space ennesime: \\
(x^{n}-y^{n})=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k+1}y^{k}\\
somma\space di\space potenze\space ennesime\space (DISPARI): \\
(x^{n}+y^{n})=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{n-k+1}y^{k}
\end{array}

IMPORTANTE: ogni qual volta ci si trova di fronte ad un prodotto tra due monomi (tipo xy) va sempre fatta la moltiplicazione tra i segni. Insomma, bisogna sempre ricordare che il coefficiente numerico di un monomio comprende anche il segno (più o meno) che lo precede.

Per concludere, ricordiamo che il termine
\begin{equation}
x^{2} \pm xy+y^{2}
\end{equation}
è detto falso quadrato (in esso non compare il doppio prodotto e non è ulteriormente componibile!).