Permutazioni e combinazioni semplici


dadi

Cosa sono le permutazioni semplici?
Si definiscono permutazioni semplici di n elementi distinti tutte le disposizioni semplici possibili degli n elementi, presi ad n ad n. Si evince dunque che l’ordine differente degli elementi dà luogo a differenti permutazioni; da qui si può anche vedere facilmente che, ponendo nella formula del numero totale di disposizioni k = n si ottiene facilmente che il numero totale di disposizioni semplici di tutti gli n elementi (che poi coincide col numero di permutazioni semplici) è n! (n fattoriale), ossia:
\begin{equation}
n! = n(n-1)(n-2)…2\cdot 1
\end{equation}

Cosa sono invece le combinazioni semplici?
Si definisce combinazione semplice di n elementi presi a k a k un gruppo qualsiasi formato da k degli n elementi di partenza

Nel caso delle combinazioni semplici l’ordine differente non dà luogo a combinazioni differenti; pertanto due combinazioni semplici sono differenti soltanto se in esse compaiono elementi differenti. Qual è il numero delle combinazioni semplici?
Chiamiamo x questo numero e supponiamo di mescolare ognuna delle combinazioni ottenute di k elementi. È facile capire che da ognuna delle combinazioni si ottengono tutte le permutazioni semplici, che, per quanto detto prima, sono k!. Pertanto:
\begin{equation}
x \cdot k! = D_{n,k}
\end{equation}
da cui si ottiene che
\begin{equation}
x = C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{k!} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\end{equation}

laddove C_{n,k} indica il numero delle combinazioni semplici di n elementi a k a k.

Continua: Disposizioni semplici





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