Particolari casi di solidi di rotazione

rotazione

Ci sono alcuni casi in cui il calcolo del volume di un solido ottenuto dalla rotazione di una regione di piano intorno ad una retta non è immediato come sembra. Il primo è quello in cui la rotazione avviene intorno all’asse y e non intorno all’asse x. Supponendo che la regione di piano interessata sia compresa tra la curva y = f(x), l’asse y e due rette orizzontali del tipo y = a e y = b (con a ), bisogna prima invertire la funzione, cioè scriverla come una x = g(y) (almeno localmente) quindi integrare tra a e b nella variabile y. Quello che si ottiene è, quindi:
\begin{equation}
V=\pi \int_{a}^{b}[g(y)]^{2}dy
\end{equation}

Cosa succede se l’area da ruotare è compresa tra due curve? In questo caso bisogna tenere a mente che l’operazione da fare è quella di sottrarre dal volume più grande (ossia quello generato dalla curva più alta, f(x) nell’esempio) il volume più piccolo (cioè quello generato dalla curva più bassa, cioè g(x) nell’esempio). Pertanto la formula corretta è:
\begin{equation}
V= \pi \int_{a}^{b} ([f(x)]^{2} – [g(x)]^{2})dx
\end{equation}

È assolutamente sbagliato fare prima la differenza e poi il quadrato; così facendo infatti non si terrebbe conto della distanza tra le funzioni e l’asse x.quadrati Per avere un’idea basta considerare la rotazione di un quadrato con un lato sull’asse x prima e completamente distaccato dall’asse poi: nel secondo caso il volume è strettamente maggiore! Infatti, detto R il lato del quadrato, r la distanza tra l’asse ed il lato (secondo caso, col lato parallelo all’asse x) si ha:
\begin{array}{c}
V_{1}= \pi R^{2} R = \pi R^{3} \\
V_{2}= \pi (R+r)^{2} R – \pi r^{2}R = \pi R [(R+r)^{2}-r^{2}]= \\
=\pi R [R(R+2r)] > \pi R^{3} = V_{1}
\end{array}

(ricordiamo che dalla prima rotazione viene fuori un cilindro, dalla seconda un cilindro cavo).
Vedremo in altra sede il caso in cui la rotazione è fatta rispetto ad una retta parallela ad uno degli assi ma non coincidente con nessuno dei due assi.

Immagine via physicsforums.com

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