Orologi, moduli e relazioni d’equivalenza.

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Cos’è una relazione modulo m? Prima di parlare di moduli è doveroso parlare di relazioni binarie, in particolare di relazioni di equivalenza. Per spiegarla semplicemente, una relazione binaria è una qualsiasi legge o regola o condizione che mette in corrispondenza due elementi. Ad esempio possiamo dire che due numeri sono in relazione se e soltanto se la differenza tra il primo ed il secondo è due (a R b è diverso da b R a!). Pertanto cinque e tre sono in relazione, sette e cinque, nove e sette, otto e sei e così via… ma non tre e cinque, sei e otto, perché la loro differenza è -2!

Vediamo dunque come dev’essere una relazione affinché possa essere definita di equivalenza.

  1. riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso (la relazione precedente, ad esempio, non lo è!).
  2. simmetrica: se a è in relazione con b, allora b è in relazione con a (la relazione precedente non gode di tale proprietà).
  3. transitiva: se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c. (la relazione precedente non gode di tale proprietà).

In formule:
Rel2

Insomma, affinché una relazione sia d’equivalenza deve soddisfare TUTTE E TRE le condizioni di cui sopra. Cosa c’entra tutto questo con i moduli e la matematica dell’orologio?

Si dice che a è congruo a b modulo m (si scrive a ≡ b (mod m) ) se e soltanto se m divide la differenza b – a (equivalentemente a – b). È un facile esercizio dimostrare che tale relazione è una relazione di equivalenza.

Detto questo, vediamo cosa sono le classi di equivalenza prima di rimandare alla prossima puntata. In maniera semplice, la classe di equivalenza di a è l’insieme di tutti gli elementi che sono in relazione con a. In formule, se R è una relazione di equivalenza in un insieme X

Rel

In simboli la classe di equivalenza di un elemento a viene indicata da a chiuso tra parentesi quadre con al pedice il nome della relazione, in questo caso R.

Vedremo che la scelta del rappresentante della classe è indifferente: se cinque e sette sono in relazione modulo due ad esempio, allora la classe di sette e la classe di cinque costituiscono lo stesso insieme, così come la classe di uno, tre… e tutti gli altri numeri dispari! Pertanto, in modulo due, tutti i numeri dispari fanno parte della stessa classe e tutti i pari di un’altra! Quello che è importante sottolineare è che due classi differenti non hanno alcun elemento in comune, altrimenti sarebbero la stessa classe (anche questo è un buon esercizio!). Vedremo cosa significa fare operazioni tra classe di equivalenza, dando quindi una giustificazione rigorosa a quella che avevamo chiamato matematica dell’orologio Ad ogni modo… alla prossima!

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