Omotetia

omotetia

Si chiama omotetia di centro O e rapporto h (diverso da zero) la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad ogni punto P associa il punto P’ tale che tra i due segmenti orientati OP e OP’ vi sia la seguente relazione:

\begin{equation}
OP’ = hOP
\end{equation}
Pertanto, fissato un sistema di coordinate ortogonali Oxy, consideriamo i punti P(x,y) e P'(x’,y’), dove P’ è il corrispondente di P attraverso l’omotetia H, e siano A ed A’ le proiezioni sull’asse x dei suddetti punti. Poiché i triangoli in questione sono simili (ingrandisci figura) si ha:
\begin{equation}
\frac{\overline{OA’}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{A’P’}}{\overline{AP}} = \frac{\overline{OP’}}{\overline{OP}}=h
\end{equation}
da cui si ottiene immediatamente:
\begin{equation}
\overline{OA’}=h \overline{OA}, \space \overline{A’P’} = h \overline{AP}
\end{equation}
Dalle relazioni così ottenute si ottengono immediatamente le relazioni tra le coordinate dei punti in corrispondenza, ossia le relazioni tra le coordinate vecchie e nuove. Infatti:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} x’=hx \\ y’ = hy \end{array}
\Longleftrightarrow \{ \begin{array}{c} x= \frac{1}{h} x’ \\ y = \frac{1}{h} y’ \end{array}
\end{equation}

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