Nastro di Möbius

Il nastro di Möbius è il primo esempio (e forse il più conosciuto) di superficie non orientabile.
Detta in maniera semplice, l’orientabilità di una superficie sta nel poterne definire una parte superiore ed una inferiore, oppure una destra ed una sinistra, insomma, due lati facilmente distinguibili da una demarcazione netta! Tutto ciò non accade nel nastro di Möbius: potendo camminare su di un nastro di Möbius ci si ritrova dopo un giro intero a testa in giù, ossia dalla parte opposta del punto di partenza, e tutto ciò senza mai aver avuto l’impressione di cambiare faccia. Per tornare al punto di partenza bisogna fare due giri. Come se, percorrendo l’equatore, dopo un giro intero ci si ritrovi al di sotto la crosta terrestre!
Per costruire nella realtà un nastro di Möbius basta prendere una striscia di carta e unirne i due suoi capi dopo aver effettuato un twist di 180° ad uno dei due, cioè dopo aver messo sotto sopra una delle due estremità.

La non orientabilità non è l’unica cosa affascinante del nastro di Möbius: tagliando il nastro al centro (parallelamente ai bordi) si ottiene un altro nastro di Möbius per il quale però il twist è di 360°, cioè un giro completo. Al contrario del nastro originale, questo secondo nastro è una superficie orientabile in quanto non è possibile andare da una faccia all’altra senza attraversare uno dei due bordi.
Non è finita: tagliando ulteriormente lungo il centro si ottengono due nastri di Möbius concatenati, entrambi con un twist di 360°.

Come si ottiene l’equazione di un nastro di Möbius nello spazio?
Per ottenere un nastro di Möbius nello spazio basta pensare ad un segmento (la cui proiezione sul piano xy si trova sempre su una retta che contiene l’origine degli assi) che ruota nello spazio intorno al suo centro come un’elica, con il centro situato sempre sul piano xy e distante dall’origine degli assi per una lunghezza R costante e maggiore della semilunghezza del segmento, ed il cui angolo di rotazione è la metà di quello compreso tra la retta che congiunge il centro con l’origine degli assi ed il semiasse positivo delle x. (vedi immagine a lato). Quanto detto si traduce in formule come segue:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
x= (R+\frac{v}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) \cos \alpha \\
y =(R+\frac{v}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) \sin \alpha \\
z = \frac{v}{2} \sin \alpha
\end{array}
,\space v\in [-r,r],\space \alpha \in [0,2\pi [
\end{equation}

Facendo variare il parametro v ci si muove lungo un segmento… da un bordo all’altro. In effetti… altra cosa affascinante di questa figura geometrica, il bordo è unico, ossia è una unica curva e non due come invece accade, ad esempio, per una corona circolare o un anello qualsiasi!