Moto del proiettile

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Il moto del proiettile è un moto piano dato dalla composizione di due moti differenti: uno, lungo un asse (quello parallelo alla Terra), rettilineo uniforme, l’altro, lungo l’asse perpendicolare (la direzione del filo a piombo, o comunque la direzione dell’accelerazione gravitazionale), uniformemente accelerato. Questo tipo particolare di moto, detto anche parabolico, può essere scomposto lungo due assi privilegiati e studiato in maniera molto semplice. Cerchiamo innanzitutto di ricavarne l’equazione. Abbiamo già detto quali sono i moti lungo i due assi privilegiati; pertanto le equazioni dei moti lungo questi due assi sono:
\begin{array}{c}
x(t) = x_{0} + v_{x}t \\ y(t) = y_{0} + v_{y}t + \frac{1}{2} gt^{2}
\end{array}

Trattandosi di un sistema è possibile calcolare la variabile temporale nella prima equazione e sostituirla nella seconda. Dunque…
\begin{array}{c}
x(t) = x_{0} + v_{x}t \Longrightarrow t = \frac{x – x_{0}}{v_{x}} \\
\Longrightarrow y(x) = y_{0} + v_{y}\frac{x – x_{0}}{v_{x}} + \frac{1}{2} g(\frac{x – x_{0}}{v_{x}})^{2}
\end{array}

L’equazione appena trovata, nella variabile x, è l’equazione di una parabola. L’equazione può essere resa più semplice se si fa riferimento all’angolo formato dalla velocità iniziale con l’asse delle ascisse; si ha infatti:
\begin{array}{c}
v_{x} = v \cos\alpha ; \space v_{y} = v \sin\alpha ; \\
y(x) = y_{0} + (x – x_{0})\tan\alpha + \frac{1}{2} g(\frac{x – x_{0}}{v\cos \alpha})^{2}
\end{array}

Svolgendo tutti i calcoli l’equazione prende la seguente forma:
\begin{array}{c}
y(t) = \frac{1}{2} \frac{g}{v^{2}\cos^{2} \alpha} x^{2} + (\tan \alpha – \frac{x_{0}g}{v^{2}\cos^{2} \alpha})x + \\ + \frac{x_{0}^{2}g}{v^{2}\cos^{2} \alpha} – x_{0}\tan \alpha + y_{0}
\end{array}

L’equazione sembra piuttosto complicata; tuttavia c’è da dire che, trattandosi della descrizione di un fenomeno fisico, essa perde di validità in due casi:

1. prima dell’istante iniziale;
2. dopo che il proiettile ha toccato terra.

Pertanto, per semplificare l’equazione, si è soliti far coincidere il punto d’inizio del moto con un punto di ascissa nulla, per cui l’equazione diventa semplicemente:

\begin{equation}
y(x) = \frac{1}{2} \frac{g}{v^{2}\cos^{2} \alpha} x^{2} + x \tan \alpha + y_{0}
\end{equation}

dove:

  1. g = -9.81 m/s^2 è l’accelerazione di gravità (con il segno meno se l’asse y è orientato verso l’alto;
  2. v rappresenta il modulo della velocità iniziale (totale, cioè non proiettata lungo gli assi);
  3. alfa è l’angolo che la velocità iniziale forma con il semiasse positivo delle ascisse;
  4. y_zero è la quota da cui parte il moto.

Vedremo prossimamente quali sono tutte le formule ricavabili dalla suddetta equazione, come ad esempio la gittata, il tempo di volo, l’altezza massima e così via.

Immagine via flickr.com

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