Moto del proiettile – formule

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Abbiamo già affrontato precedentemente il moto del proiettile come combinazione di due moti indipendenti, quindi abbiamo visto la definizione di gittata e come calcolarla in maniera molto semplice. Vediamo ora alcune altre formule. Ricordiamo che lungo l’asse delle y il moto è uniformemente accelerato. Pertanto possiamo scrivere la formula della velocità come:
\begin{equation}
v_{y} = v_{0}\sin \alpha +gt
\end{equation}
Il punto più alto della traiettoria è caratterizzato dal fatto di avere velocità nulla lungo l’asse y; pertanto basta imporre tale velocità uguale a zero, trovare l’istante di tempo t relativo e sostituirlo nelle relazioni x(t) e y(t). Dunque, dalla relazione sopra si trova:
\begin{array}{c}
0 = v_{0}\sin \alpha +gt \Longrightarrow t = -\frac{v_{0}\sin \alpha}{g}
\end{array}
Ricordiamo che stiamo considerando la g , per cui il tempo trovato è positivo. Andando a sostituire tale valore di t nelle formule

\begin{array}{c}
x(t) = v_{0}t\cos \alpha \\
y(t) = y_{0} + v_{0}t\sin \alpha + \frac{1}{2} gt^{2}
\end{array}

troviamo:
\begin{array}{c}
x = -v_{0} \cos \alpha \frac{v_{0}\sin \alpha}{g} \\
y = y_{0} -v_{0}\frac{v_{0}\sin \alpha}{g} \sin \alpha + \frac{1}{2} g(-\frac{v_{0}\sin \alpha}{g})^{2}
\end{array}

Semplificando la scrittura otteniamo:
\begin{array}{c}
x = -\frac{v_{0}^{2}\sin 2 \alpha}{2g} \\
y = y_{0} -\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \alpha}{g} + \frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \alpha}{2g} = y_{0} -\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \alpha}{2g}
\end{array}

ATTENZIONE! Se la v_y è minore di zero la formula perde di significato in quanto il proiettile non sale oltre il punto di lancio; il tutto è confermato poi dal fatto di trovare un tempo negativo nell’equazione precedente il che non ha senso!

Vediamo un altro dato: il tempo di volo. È immediato pensare che il proiettile, o qualunque altro sia l’oggetto lanciato, voli finché tocca terra, per cui trovare il tempo di volo significa imporre che l’altezza (ovvero la coordinata y) sia zero. Pertanto:
\begin{array}{c}
y(t) = y_{0} + v_{0}t\sin \alpha + \frac{1}{2} gt^{2},\space y = 0\\
\Longrightarrow y_{0} + v_{0}t\sin \alpha + \frac{1}{2} gt^{2} = 0
\\ \Longrightarrow \space escludendo \space i \space passaggi \Longrightarrow \\
t_{1,2} = \frac{-v_{0}\sin \alpha \pm \sqrt{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha – 2gy_{0}}}{g}
\end{array}

Facciamo alcune osservazioni. Nel caso in cui il punto di lancio si trova ad altezza zero uno dei due istanti sarà zero, l’altro positivo (che quindi ci darà l’effettivo tempo di volo); nel caso in cui il punto parte da altezza positiva uno dei due risultati sarà sicuramente negativo e sarà da scartare in quanto, trattandosi di un fenomeno fisico, non ha senso studiarne il comportamento prima che esso cominci!!!

Un altro dato importante è la distanza percorsa parallelamente alla terra: in questo caso, nell’equazione della parabola, basta imporre che la y sia uguale a zero e trovare le due x come risultato… ossia:

\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \frac{g}{v^{2}\cos^{2} \alpha} x^{2} + x \tan \alpha + y_{0} = 0
\ \Longrightarrow \space escludendo \space i \space passaggi \Longrightarrow \\
x_{1,2} = (-v_{0}\sin \alpha \pm \sqrt{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha – 2gy_{0}})\frac{v_{0} \cos \alpha}{g}
\end{array}

Ricordiamo che se l’altezza iniziale è nulla uno dei due punti è l’origine degli assi, l’altro invece l’effettiva soluzione cercata; se l’altezza iniziale è positiva invece uno dei due punti avrà sicuramente ascissa negativa, che non è compatibile con il fenomeno fisico, ma soltanto con la parabola matematica. Non bisogna mai dimenticare che la matematica serve da supporto alla risoluzione dei problemi fisici e che quindi, in questi casi, deve essere un attimo interpretata.

A titolo di consiglio, è molto più facile ricordare il procedimento che le formule! Infatti:

  1. altezza massima equivale a velocità lungo y nulla;
  2. tempo di volo equivale a y(t) = 0;
  3. distanza percorsa equivale a distanza lungo x finché il proiettile tocca terra, ossia y(x) = 0.

Immagine via freefoto.com

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