Metrica e pseudometrica: definizioni equivalenti

Abbiamo già visto in due post precedenti cosa sono la metrica e la pseudometrica, dando le definizioni per l’una e per l’altra. Tuttavia in matematica è piuttosto frequente l’uso di definizioni equivalenti, ovvero di definizioni spesso più brevi ma che esprimono le stesse proprietà delle definizioni originali. Vediamo cosa succede per la metrica.
\begin{array}{c}
d:S\times S \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} \space e’ \space una\space metrica \\\overset{def}{\Longleftrightarrow} \\ 1.\space d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y,\space \forall x,y \in S;\\ 2.\space d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z),\space \forall x,y,z\in S.
\end{array}

Osserviamo che, in questo caso, gli assiomi sono due e non tre. L’assioma 2. è detto disuguaglianza triangolare in senso forte. Ma cosa cambia? Ricordiamo un attimo l’assioma 3 di una (pseudo)metrica:
\begin{equation}
d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)
\end{equation}

L’assioma 3. non implica che la funzione distanza d sia simmetrica, quindi ha bisogno di un altro assioma che lo sottolinei. Viceversa, nel caso che stiamo analizzando, la disuguaglianza triangolare in senso forte implica la simmetria della funzione. Come? Sappiamo che
\begin{equation}
d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z),\space \forall x,y,z\in S
\end{equation}
Poniamo dapprima z = x. Quello che si trova è:
\begin{equation}
d(x,y)\leq d(x,x)+d(y,x) \Longleftrightarrow d(x,y)\leq d(y,x)
\end{equation}

Tuttavia, invertendo x con y (e ponendo quindi z = y) si ha:
\begin{equation}
d(y,x)\leq d(x,y)+d(y,y) \Longleftrightarrow d(y,x)\leq d(x,y)
\end{equation}

Tirando le somme…
\begin{equation}
\begin{array}{c}
d(x,y)\leq d(y,x) \\ d(y,x)\leq d(x,y)\end{array} \} \Longrightarrow d(x,y)=d(y,x)\end{equation}

Abbiamo visto dunque che la disuguaglianza triangolare in senso forte unita all’assioma 1. ci dà automaticamente la simmetria, dunque le due proprietà qui sopra enunciate equivalgono alle tre originariamente date per una metrica. È altresì vero che, mutando l’assioma 1. con quello di una pseudometrica, otteniamo con gli stessi passaggi (e con la stessa disuguaglianza triangolare forte) una definizione equivalente per la pseudometrica.