Matematica – quello che non vi dicono mai…

equilatera

…ma che serve sapere!

Ci sono alcune cose che non vengono mai o quasi mai dette agli studenti delle scuole superiori, ma che tuttavia potrebbero evitare grossi strafalcioni all’esame di maturità, specie parlando di matematica.
Vediamo in questa sede un teorema molto semplice quanto molto utile, anche se non all’apparenza. Il teorema fondamentale dell’algebra dice che un polinomio di grado n con coefficienti nel campo complesso ammette almeno una radice nel campo complesso. Da qui, utilizzando il teorema di Ruffini, si deduce che il polinomio di cui sopra ammette esattamente n radici (non più, né meno!) nel campo complesso.
\begin{array}{c}
P(z) = a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} +…+ a_{1}z + a_{0} \\
\exists z_{0}\in \mathbb{C} : P(z_{0})=0
\end{array}

Vediamo in pratica a cosa serve.
Ricordiamo innanzitutto che i numeri reali sono numeri complessi con parte immaginaria nulla, per cui l’enunciato vale anche per polinomi a coefficienti reali (quelli normalmente studiati). Secondo, è importante sapere che, se un numero complesso è radice di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato lo è. In pratica…
\begin{array}{c}
P(z) = a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} +…+ a_{1}z + a_{0} \\
P(a+ib)=0 \Longrightarrow P(a-ib)=0
\end{array}
Pertanto, se un polinomio ha grado dispari, esso ammette almeno una radice reale. Per quale motivo? Se le radici fossero tutte complesse, per ognuna di esse ci sarebbe il complesso coniugato per cui le radici sarebbero in numero pari, ovvero almeno una in più del grado del polinomio, cosa impossibile. Ai fini di un problema di matematica questo teorema ci assicura che il grafico di un polinomio di grado dispari passa sempre per l’asse delle x, poiché almeno una volta esso assume valore zero e quindi almeno una volta interseca l’asse. Questo teorema può essere inoltre utile nel disegno di funzioni polinomiali i cui zeri non sono facilmente calcolabili con la regola di Ruffini.

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