Matematica ed economia: ricerca del massimo profitto

Autore:
Massimiliano Grimaldi
  • Direttore responsabile

business-21856_640La ricerca del massimo profitto di un’impresa è un problema di economia la cui risoluzione è legata alla ricerca dei massimi e dei minimi di funzioni in due variabili.

È chiaro che le condizioni in cui opera l’impresa possono essere diverse, per cui, al variare delle condizioni, varieranno le funzioni da analizzare.

coinsCominciamo a vedere come si calcola il massimo profitto di un’impresa che opera in un mercato di condizioni di concorrenza perfetta.

Questo è il caso in cui il prezzo di un bene è prefissato e non può essere variato dall’impresa che lo mette in commercio.

Introduciamo alcune funzioni: R (ricavo), C (costo), P (profitto, solitamente indicato con la Pi greca, e dato da R – C).

Supponiamo che l’impresa in questione produca due beni in quantità q1 e q2. È facile immaginare che
\begin{equation}
R = p_{1}q_{1} +p_{2}q_{2}
\end{equation}
Inoltre, detta
\begin{equation}
C ( q_{1},q_{2} )
\end{equation}
la funzione del costo, si ha:
\begin{equation}
\Pi = R – C = p_{1}q_{1} +p_{2}q_{2} – C ( q_{1},q_{2} )
\end{equation}
Per massimizzare il ricavo, dunque, basta trovare i punti di massimo della funzione P appena descritta.

Pertanto…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
\frac{\partial \Pi}{\partial q_{1}} = 0 \\
\frac{\partial \Pi}{\partial q_{2}} = 0 \\
\end{array}
\end{equation}

…da cui si trovano quindi i punti stazionari per i quali si calcola la matrice Hessiana per vedere se il punto/(i punti) in questione sia/siano di minimo o massimo o di sella.

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