Massimi e minimi di funzioni in due variabili

sinusoide

La ricerca dei massimi e minimi per funzioni in due variabili ha molto in comune con la stessa operazione fatta per le funzioni in una sola variabile. Cambia il fatto che, parlando di superfici, non si hanno più rette tangenti bensì piani tangenti. Pertanto, se un punto di massimo (o minimo) relativo per una funzione in una variabile è un punto in cui (salvo casi particolari) la tangente è parallela all’asse x, per una funzione in due variabili un punto di massimo o minimo relativo deve ammettere piano tangente parallelo al piano xy. Per definizione, un punto in cui il piano tangente è parallelo al piano xy si dice punto stazionario o punto critico.

Come si trovano i punti stazionari?
Detto molto semplicemente, un punto stazionario è un punto in cui le derivate prime (rispetto alle due variabili x ed y) si annullano. Pertanto, la ricerca dei punti stazionari si conclude con la risoluzione del sistema
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x} =0 \\
\frac{\partial f}{\partial y} =0
\end{array}
\end{equation}
che, scritto in maniera più semplice, è:

\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
f_{x}=0\\
f_{y}=0
\end{array}
\end{equation}

I punti che si trovano come soluzione di questo sistema (ricordiamo che ogni punto è dato da due coordinate) sono i punti stazionari della funzione. A questo punto, per vedere se i punti sono di massimo o di minimo bisogna calcolare il determinante della matrice hessiana:
\begin{equation}
H = \vert \begin{array}{cc}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx} & f_{yy}
\end{array}
\vert
\end{equation}
Valutando il determinante nei vari punti critici (per valutare il determinante in un punto critico bisogna sostituire la coordinata x di un punto stazionario ad ogni occorrenza della x e la y ad ogni occorrenza della y) si ha:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
H>0 \\ f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,\space f_{yy}(x_{0},y_{0})>0 \end{array}
\Longrightarrow (x_{0},y_{0}) \space minimo\space relativo
\end{equation}

\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
H>0 \\ f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,\space f_{yy}(x_{0},y_{0}) \Longrightarrow (x_{0},y_{0}) \space massimo\space relativo
\end{equation}

sellaNel caso in cui l’hessiano sia negativo si ha un punto di sella, cioè un punto in cui la funzione ammette un massimo seguendo alcune direzioni, un minimo rispetto ad altre (basta immaginare la sella di un cavallo); se invece l’hessiano è nullo bisogna studiare la funzione con altri metodi che vedremo in un altro post!

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