Logaritmi – definizione e formule

Cosa sono i logaritmi?

Siano dati due numeri a e b, strettamente positivi e con a diverso da 1. Il logaritmo in base a di b è un numero c tale che a elevato a c è uguale a b. Ancora, possiamo definire il logaritmo in una data base come l’esponente da dare alla base per avere come risultato l’argomento stesso del logaritmo. L’iniettività della funzione esponenziale ci assicura che il valore ottenuto è unico. Ad ogni modo è probabilmente più facile dirlo in formule. Siano…
\begin{array}{c}
a,b>0 \space con \space a \ne 1 \\
\log_{a} b \space \overset{def}{=} \space c \space tale\space che\space a^{c} = b
\end{array}
Pertanto…
\begin{equation}
a^{\log_{a}b} = b,\space \forall a,b > 0,\space a \ne 1
\end{equation}

Il numero a è la base del logaritmo; esso deve essere maggiore di zero in quanto le funzioni esponenziali sono definite soltanto per basi positive; non solo, deve essere diverso da uno perché non ha senso elevare 1, il risultato resta sempre 1. Il numero b è l’argomento del logaritmo. Esso deve essere sempre positivo in quanto le funzioni esponenziali sono a valori positivi e non nulli. (ricordiamo che il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale). Vediamo alcune proprietà dei logaritmi (senza dimostrazione).
\begin{array}{c}
\log_{a}(b\cdot c) = \log_{a}b + \log_{a} c \\
\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a}b – \log_{a}c \\
\log_{a}b^{n} = n \log_{a} b,\space \forall n \in \mathbb{R} \\
\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} \space (cambio \space di\space base)
\end{array}

Le basi più usate sono: il numero di Nepero e, 10 e 2. Tuttavia negli esercizi che si trovano sui libri è facile trovare le basi più disparate. Non solo, è spesso probabile che il risultato di un esercizio non coincida con quello del libro: questo non implica che sia sbagliato, in quanto è facile che il libro usi una base differente per il risultato oppure applichi proprietà differenti.