L'insieme dei numeri naturali

Cos’è che viene definito numero?
Si definisce numero:
Ciascuno degli enti astratti che costituiscono una successione ordinata e che, fatti corrispondere ciascuno a ciascuno oggetto preso in considerazione, servono ad indicare la quantità degli oggetti costituenti un insieme.

A quanto pare, è più complicato cercare di definire la nozione di numero di quanto in effetti non lo sia l’idea stessa. Se da una parte è molto più facile imparare a contare, a fare somme e prodotti e quant’altro, è pur vero che la matematica ha bisogno di un’impalcatura teorica su cui poggiare gli strumenti che usa.
È possibile pertanto mettere in risalto le proprietà di tali numeri (naturali) dicendo che l’insieme dei numeri naturali ℕ₀ è la conclusione dell’operazione di aggiungere un nuovo elemento ad un elemento dato.

Definiamo una terna di Peano. Consideriamo una struttura del tipo (S,s,z₀) dove S è un insieme, s è un’applicazione di S in sé e z₀ è un elemento di S.
La struttura in questione si dice terna di Peano se verifica i seguenti assiomi:

L'insieme dei numeri naturali

Se a questo punto chiamiamo s : S→S la funzione successore e z₀ elemento nullo, gli assiomi 1. e 2. ci dicono che z₀ non è successore di alcun elemento e la funzione s è iniettiva, cioè che nessun elemento coincide con il suo successore. L’assioma 3. viene detto principio di induzione matematica, e talvolta viene enunciato nel seguente modo:

L'insieme dei numeri naturali

Ora, se al posto di S e z₀ consideriamo ℕ₀ e 0, e la funzione s è quella che ad un numero n associa il suo successore n+1 ritroviamo nella definizione data esattamente l’insieme dei numeri naturali più lo zero con le operazioni di somma e prodotto che sappiamo fare e che definiremo successivamente in maniera “corretta”.

Per saperne di più:
Dire che esiste una terna di Peano equivale a dire che esiste un insieme infinito, dove per infinito intendiamo un insieme che risulti essere equipotente ad una sua parte propria, ovvero che ammette l’esistenza di una funzione dell’insieme stesso verso una sua parte propria che sia iniettiva.

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