Limiti notevoli

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Cosa sono i limiti notevoli?

I limiti notevoli sono dei limiti (tutte forme indeterminate) facilmente ricordabili (e dimostrabili) che servono da supporto nella risoluzione dei limiti in generale. Non sempre infatti è possibile dare un risultato in maniera semplice; non solo, molte volte, con funzioni complesse, risulta piuttosto difficile applicare la formula di Taylor o la regola di De L’Hospital… o semplicemente all’esame di Matematica 1 (o Analisi 1) o 2 ci chiedono esplicitamente di non usare le suddette formule! Diamo dunque una lista di tutti (si spera) i limiti notevoli.

\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\sin x}{x}=1 \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\tan x}{x}=1 \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{1-\cos x}{x}=0 \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2} \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\arcsin x}{x}=1 \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\arctan x}{x}=1 \\
\underset{x \rightarrow \pm \infty}{lim} (1+ \frac{1}{x})^{x}=e \\
\underset{x \rightarrow \pm \infty}{lim} (1+ \frac{a}{x})^{bx}=e^{ab} \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} (1+ \alpha x)^{\frac{1}{x}}=e^{\alpha} \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\log_{a}(1+ x)}{x}=\log_{a}e \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a,\space a > 0 \\
\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+x)^{\alpha} – 1}{x} = \alpha
\end{array}

Quando si risolve un limite, in pratica, bisogna sempre far riferimento a questa tavola, e cercare di ricondurre le varie forme indeterminate a questi limiti notevoli mediante operazioni di somma e sottrazione oppure di moltiplicazione e divisione (ricordiamo che quando si effettua la somma bisogna sommare zero, quindi la quantità sommata va anche sottratta; quando si effettua la moltiplicazione bisogna moltiplicare per uno, quindi la quantità per cui moltiplichiamo va anche divisa… il tutto perché non bisogna alterare la forma che abbiamo dinanzi).

Immagine via commons.wikimedia.org

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