Limiti e forme indeterminate

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Cos’è una forma indeterminata?

Nello studio dei limiti le forme indeterminate sono delle particolari forme (somme, rapporti, potenze) a cui non possiamo assegnare con immediatezza il valore finale. Pertanto, mentre 1/0 dà come risultato infinito (più o meno che sia, ricordiamo che non è possibile dividere per zero, ma è possibile farlo al limite), zero su zero può dare tutti i risultati immaginabili, da meno infinito a più infinito!

Vediamo dunque quali sono le forme indeterminate:

\begin{array}{c}
\frac{\infty}{\infty}; \space \frac{0}{0}; \space \infty \cdot 0; \space +\infty – \infty; \\ 1^{\infty}; \infty^{0}
\end{array}



Facciamo un esempio:
\begin{equation}
\underset{x\rightarrow 3}{lim} \frac{x^{2}-9}{x-3}
\end{equation}

Sostituendo il valore tre alla variabile ci si accorge immediatamente che questo limite presenta la forma indeterminata 0/0. Come si risolve?

\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow 3}{lim} \frac{x^{2}-9}{x-3} = \underset{x\rightarrow 3}{lim} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \\
=\underset{x\rightarrow 3}{lim} (x+3) = 6
\end{array}

Attenzione! Il fatto che il limite esiste ed è finito non implica assolutamente che la funzione sia definita nel punto 3! Il punto x = 3 resta sempre un punto di discontinuità della funzione. La risoluzione delle forme indeterminate è da farsi il più delle volte con particolari artifici (sommare e sottrarre la stessa quantità, moltiplicare e dividere, o altri piccoli accorgimenti come nel caso di cui sopra) nell’ottica di far scomparire la forma indeterminata o di far comparire quelli che vengono definiti limiti notevoli di cui parleremo un’altra volta!

Immagine via commons.wikimedia.org

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