Limiti di funzioni – limite infinito all'infinito

domino

Il limite di una funzione può essere infinito quando la variabile tende all’infinito. Tralasciando per ora le varie forme indeterminate (stiamo dando più che altro peso alla definizione di limite) il discorso è sempre lo stesso: trovare la coppia di intorni (uno in funzione dell’altro, in effetti) che soddisfa la definizione. Quindi, in termini di intervalli…

\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow +\infty}{lim} f(x) = +\infty \\ \Longleftrightarrow \\ \forall M > 0,\space \exists N > 0 \space tale \space che \space x > M \rightarrow f(x) > N
\end{array}

Può accadere ovviamente che la funzione diverga a meno infinito, o che la variabile tenda a meno infinito e la funzione a più infinito… in ogni caso, come già visto precedentemente, basta cambiare gli intorni e il gioco è fatto! Facciamo un esempio. Fissato M > 0, dimostriamo che

\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow +\infty}{lim} \sqrt{x} = +\infty \\
\sqrt{x} > M \Longrightarrow x > M^{2}
\end{array}

Posto quindi
\begin{equation}
N=M^{2}
\end{equation}

otteniamo gli intorni cercati.

Immagine via commons.wikimedia.org

ATuttoNet
  • Scrittore e Blogger
Suggerisci una modifica